Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

108 Mécanique non linéaire des matériaux(voir 2.3.5), soit :Z¢ ¢¡sZ s ¢ (3.130)Dans chaque sous–ensemble Z s , on distingue une contrainte élémentaire s sur¢ σ¨le mécanisme et un ensemble de variables d’écrouissage YJ ss. Ces sous–ensembles seretrouvent au niveau de l’énergie libre, pour laquelle :¢ ψ ∑ψ s Z s ¡ J s(3.131)sIl reste ensuite le choix de faire intervenir chacun de ces mécanismes dans plusieurspotentiels élémentaires Ω s , chacun étant rattaché à un mécanisme particulier au traversde son propre critère f s (équation 3.132), ou à un potentiel unique Ω, chaquemécanisme apportant sa contribution à un même critère global f (3.134) :p ∂Ω ¢ ∑s∂σ¨˙ε¨s∑∂Ω s ∂ f s¢s ∂ f s ∂σ¨n¨s ∂ f sss ∂σ¨avec B¨¨ ¢ et ¢s ∂σ¨∑∂Ω ss ¢s ∂ f s B¨¨ : n¨s(3.132)(3.133)˙ε¨p ¢∂Ω∂Ω∂ f¢∂ f∂σ¨ ∂σ¨s ∂ favec ¢ et B¨¨ sn¨∂σ¨∂σ¨∂Ω∂ f∑s n¨ : B¨¨ ¢s∂σ¨ss ¢s(3.134)(3.135)∂σ¨Le B¨¨ tenseur s représente dans certains cas une partie de la loi de concentrationqui fournit la contrainte locale en fonction de la contrainte globale pour le cas dematériaux hétérogènes. On se contentera ici de décrire des approches dans lesquellesles B¨¨ tenseurs s sont des tenseurs identité.La première méthode peut s’appliquer, au choix, en considérant des mécanismesde même nature (tous plastiques, ou tous viscoplastiques) ou en panachant les contributions.On doit à Koiter [KOI 60] et Mandel [MAN 65] les travaux originaux concernantce type d’approche en plasticité. Dans la suite, on commence par exprimer auparagraphe 3.10.2 la première hypothèse, dans laquelle tous les mécanismes sont denature identique.Cette voie est celle qui est naturellement suivie pour construire des modèles demonocristaux (paragraphe 3.10.3 : il suffit pour cela d’observer que chaque système deglissement représente un mécanisme, et que la contrainte élémentaire vue par chaquemécanisme est la contrainte macroscopique (pas de transition d’échelle).On montre ensuite d’autres applications de multimécanismes/multicritères àdeux mécanismes, en considérant chacune des trois possibilités, plastique–plastique,viscoplastique–viscoplastique, et plastique–viscoplastique (section 3.10.5).Au contraire, si l’on se tourne vers un modèle à un seul potentiel, la réponse serauniquement plastique ou viscoplastique, comme indiqué au paragraphe 3.10.6.