MastÃ¨re COMADIS Lois de comportement non linÃ©aires des matÃ©riaux

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§§§¢§§§¢66 Mécanique non linéaire des matériauxOn remarque que les forces intérieures peuvent également se calculer de la manièresuivante :F ei ¢ ¢V eB¡ T © £ σ¨ ¥ dV (2.257)Les quantités F i¢ , F e¢ et K¡ sont calculées élément par élément puis assemblées.Les forces internes d’un élément sont calculées par intégration de Gauss de la façonsuivante :F ei ¢ ¢V eB¡ T © £ σ¨ ¥ dV ¢ ∑gLa matrice de rigidité élémentaire est évaluée de la façon suivante :B g ¡ T © £ σ¨ g¥ J g w g ¡ (2.258)K e T ¡ B¡ © L¨¨ © ¢B¡ ¢ £dVV e∑ B T g L¨¨ © ¡ © £B g ¡ J g w g ¡ (2.259)gUne fois assemblés, les vecteurs F i¢ et F e¢ sont des vecteurs de taille n d où n d estle nombre de degrés de K¡ liberté du probème. est une matrice de taille n d n d . F i¢ kest la réaction associée au degré de liberté k.2.8.6. Une autre présentation de la discrétisation éléments finisOn peut obtenir le principe de la discrétisation éléments finis en partant du PPV.La discrétisation de la puissance des forces extérieures aboutit naturellement à l’équation2.248 pour chaque élément. Le champ de déplacement discrétisé vérifie les conditionslimites en déplacement : il est donc cinématiquement admissible. Toutefois lechamp de contraintes associé au champ de déplacement n’est pas nécessairement statiquementadmissible. Le problème revient donc à trouver le champ de déplacementu (discrétisé par u¢ ) permettant de satisfaire le PPV : le champ de contrainte associésera alors statiquement admissible. Pour tout champ virtuel ˙u, discrétisé par ˙u¢ , lapuissance des efforts intérieurs est donnée par :w i ¢Ω¢ ∑e¢ ∑eσ¨ u¡ : ˙ε¨ ˙u¡ dVV e£ σ¨ u e ¢ ¡ ¥ © B¡ © ˙u e ¢ dV¡§T B¡ £ u e ¢ ¡ ¥ © ˙u e © ¢σ¨V edV¤F i ˙u¢ (2.260)© ¢ ¡ u¢A chaque degré de liberté est associée une réaction interne. L’ensemble de celles–ci sont regroupées dans le vecteur F i u¢ ¡ ¢ dont l’équation précédente fournit unedéfinition. Celle–ci doit être vérifiée pour tout champ ˙u¢ CCA. Il en découle que F i¢est égal à :F i¢ ¢ A F ei ¢ ¡ avec F ei ¢ ¢V eB¡ T © £ σ¨ u e ¢ ¡ ¥ dV (2.261)
¢¢§V eB¡ T ©©¢§V eB¡ T ©¢Concepts généraux 67Le problème à résoudre par rapport à u¢ est donc :F i u¢ ¡ ¢ ¢¡ F e¢ (2.262)Il s’agit d’un système non–linéaire que l’on peut résoudre par la méthode de Newton.Il convient alors de calculer la matrice jacobienne :Reste donc à calculer K e ¡ :¢∂ F i u¢ ¡ ¢∂ u¢K¡A ∂ Fe i u e ¢ ¡ ¢∂ u e ¢¢A K e ¡ (2.263)K e ¡ ¢∂ F ei u e ¢ ¡ ¢∂ u e ¢ε¨ ¥ ∂£∂ u e ¢L¨¨ c £© B¡ dV (2.264)σ¨ ¥ ∂£ε¨ ¥ ∂£On retrouve, bien entendu, le même résultat qu’en 2.249. Il apparaît toutefois trèsclairement que la matrice de rigidité K¡ n’est utilisée que pour la résolution itérativede l’équation 2.262. On peut donc en utiliser une approximation, soit en donnant uneapproximation de L¨¨ c, soit en employant la méthode BFGS pour résoudre 2.262.Note : Le membre de droite de l’équation 2.262 (i.e. F e¢ ) peut dans certains casdépendre de u¢ . Il convient alors d’apporter des termes correctifs à la matrice K¡ .2.8.7. L’assemblage par l’exempleAfin de mieux comprendre l’opération d’assemblage, considérons un exemplesimple. La figure 2.18 représente un maillage contenant 3 éléments linéaires A, B,C et 7 nœuds 1. . .7. Il s’agit d’un problème mécanique plan ; il y a donc 14 degrés delibertés (7 2) correspondants aux déplacements aux nœuds. Dans chaque élément,les nœuds ont une numérotation locale indiquée en italique. Le u¢ vecteur des inconnuesest donc :u 1 x ¡ u 1 y ¡ u 2 x ¡ u 2 y ¡ u 3 x ¡ u 3 y ¡ u 4 x ¡ u 4 y ¡ u 5 x ¡ u 5 y ¡ u 6 x ¡ u 6 y ¡ u 7 x ¡ u 7 y£ (2.265)¢ u¢Pour l’élément A, le vecteur des inconnues £ locales u A vaut : ¥u A ¥ ¢ £ u A1x £u A1y ¡u A2x ¡u A2y ¡Le vecteur des forces internes associé à l’élément A vaut :FiA £¢ FxA1 £ ¥u A3x ¡ u A3y ¥ ¢ £ u 1 x ¡ u 1 y ¡ u 2 x ¡ u 2 y ¡ u 4 x ¡ u 4 y¥ (2.266)¡FyA1 ¡FxA2 ¡FyA2 ¡FxA3 Fy A3 ¥ (2.267)¡ ¡
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