Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

¡n¨ 1 ¥¡n¨ 2 ¥ṙ ¢¡1 ¥122 Mécanique non linéaire des matériauxLa formulation plastique de ce modèle a été étudiée en détail [ZAR 87], on peutégalement écrire une formulation viscoplastique [CAI 95].Dans l’un et l’autre cas, il n’y a plus qu’une variable isotrope, si bien que lesdeux relations de la formule 3.181 sont remplacées par une seule, le terme moteurṖ étant, selon le cas, le multiplicateur plastique (unique) ou la dérivée du potentielviscoplastique par rapport à f , ˙v :R(3.186)La variable isotrope R s’écrit donc :R ¢ bQr ¢ Q 1 ¥ exp ¥ bP¡ ¡ (3.187)Q¤ṖEn viscoplasticité :Ṗ ¢ ˙v ¢fn(3.188)En plasticité :K¡Ṗ ¢ ˙λ ¢J 1 n¨ 1 J2 2 n¨ ¡ :h˙σ¨(3.189)R h X1 h X2¡ avec :h R ¢ b Q ¥ R¡ R (3.190)2h X1 ¢32h X23¢3D 1Ẍ :2C 113D 2Ẍ2C 22 2¤ 1¤¡ C 11 J 1 n¨ 1 C 12 J 2 n¨ 2¢ (3.191)¡ C 12 J 1 n¨ 1 C 22 J 2 n¨ 2¢ (3.192)La notation n¨ i ¡ i ¢ 1¡ 2¡ des équations 3.189 et 3.192 correspond à la forme classiquen¨i ¢3 2¡ sposant J i ¢ J σ¨ ¥ Ẍ i ¡ ::¨ ¥ Ẍ i ¡£ J σ¨ ¥ Ẍ i ¡ , l’expression de la normale devenant alors ici, en¢J 1 1 J n¨2 2 n¨n¨¡ J 2 1 J2 2¢1 2(3.193)Pour ce type de modèle, le multiplicateur plastique (ou encore ˙v en viscoplasticité) necorrespond plus à la vitesse de déformation équivalente. L’étude détaillée du modèlemontre qu’il permet de régler dans une certaine mesure la quantité de rochet, parexemple sous un chargement non symétrique. Lorsque le déterminant C 11 C 22 ¥ C 2 12¡est non nul, le rochet s’arrête après une période de déformation progressive. Il estintéressant de noter que le cycle mécanique stabilisé peut être ouvert (figure 3.18).