Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

¡¡¡¡¡¡¢ 2Lσ 2 12 2Mσ 2 23 2Nσ 2 13) 1 2 ¥ σ y ¢ f H σ¨ ¡¡¡¡¡¡¡¢N ¢ n© σ¨ © n ; T ¢£¥¤ ¤¤¦¤¤¤£¥¤ ¤¤¦¤¤¤42 Mécanique non linéaire des matériauxle repère correspondant. On retrouve alors l’expression classique :f σ¨ ¡£¢ (F σ 11 ¥ σ 22 ¡ 2 G σ 22 ¥ σ 33 ¡ 2 H σ 33 ¥ σ 11 ¡2(2.98)En représentant le tenseur d’ordre 4 comme une matrice 6x6, les termes de B¨¨s’écrivent dans ce cas particulier : ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥F H F H 0 0 0F G F G 0 0 0H G H G 0 0 00 0 0 2L 0 00 0 0 0 2M 00 0 0 0 0 2N(2.99)Une manipulation simple permet de vérifier que le même critère s’exprime égale-¨ s B¨¨ : :ment en fonction des composantes du tenseur déviateur associé σ¨ à , J B ¡ ¢ σ¨¨ ¡ s1 2 , où les composantes B¨¨ de s’écrivent :¥ ¥ ¥2F G 2H 0 0 0 0 00 2F 2G H 0 0 0 00 0 F 2G 2H 0 0 00 0 0 2L 0 00 0 0 0 2M 00 0 0 0 0 2N(2.100)L’isotropie transverse autour de l’axe 3 ne laisse subsister que 3 coefficients indé-2H. L’isotropie complète impliquependants, car on a alors ¢ F G, ¢ L M, ¢ N Fde plus ¢ F H, ¢ L N, ¢ N 3F, ce qui redonne le J¨¨ tenseur signalé plus haut et l’invariantde von Mises. Si on veut de plus représenter la dissymétrie entre traction etcompression, il faut avoir recours à une expression qui réintroduit une forme linéaire,telle celle du critère de Tsaï :f σ¨ ¡ ¢ f H σ¨ ¡ Q σ 22 ¥ σ 33 ¡ P σ 11 ¥ σ 33 ¡ (2.101)De même qu’il existe une voie de généralisation pour les critères exprimés enterme d’invariants, il existe des résultats pour ceux qui sont exprimés en termes decontraintes principales. Un cas très courant en géotechnique est celui des matériauxisotropes transverses, dont le critère peut s’écrire en fonction des contraintes normalesprincipales et de N et T, qui sont respectivement les contraintes normales et tangentiellessur une facette perpendiculaire à l’axe de schistosité (c’est–à–dire une facetteparallèle au plan isotrope de schistosité), défini par le vecteur normé n.22¢¨§ © n § § § ¥ σ¨ N2£1 § § § §(2.102)