Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

§§§P £ e¤ ¢§16 Mécanique non linéaire des matériauxchaque instant, la dérivée particulaire de l’énergie totale d’un système est la sommede la puissance des efforts exercés sur le système, P £ e¤ , et du taux de chaleur reçue,˙Q. L’énergie est la somme de l’énergie interne et de l’énergie cinétique, qui ne serapas considérée ici. Le principe s’écrit donc, en introduisant l’énergie interne E sur undomaine D, ou l’énergie interne spécifique e :dEdt¢D ρde dt dV ¢ P £ e¤ ˙Q (2.13)En choisissant comme champs statiquement admissible et cinématiquement admissibleles champs réels, la section précédente indique qu’il est possible d’écrire lapuissance des efforts extérieurs comme :σ¨ : dV (2.14)D˙ε¨Le terme ˙Q est la somme de deux termes, le premier correspondant à la densitésurfacique du taux de chaleur reçue, qui se définit en fonction du vecteur courant dechaleur q et de la normale n, (n désigne la normale sortante sur la surface ∂D dudomaine considéré), le second, r, représentant une chaleur volumique, provenant dessources de chaleur, liées par exemple à des réactions chimiques ou des transformationsde phases non prises en compte directement dans la modélisation mécanique ou encoreĂ des sources de chaleur externes, par rayonnement :D rdV ¥ §∂D q© ndS ¢ §Dr ¥ divq¡ dV (2.15)˙Q ¢La variation d’énergie interne spécifique est donc la somme du taux d’énergiespécifique due aux forces intérieures et du taux de chaleur spécifique reçue :ρ de : r σ¨ ¥ divq (2.16)¢dt˙ε¨Le second principe fournit une borne supérieure du taux de quantité de chaleur quepeut recevoir le volume D à une température T , et s’exprime, en fonction de l’entropieS ou de l’entropie spécifique s :d’où :§ §dS rdt D T dV n q©dS (2.17)∂D T ¥¡ρ ds r qdV 0 (2.18)D dt T T£¥¤ div¢ ¥En introduisant l’énergie libre spécifique de Helmholz ψ, telle que e ¢ ψ T s,dans les équations 2.16 et 2.18, on aboutit alors à l’inégalité dite de Clausius-Duhem :ρ dψdt1T q© grad T¡ 0 (2.19)σ¨ : ˙ε¨ ¥¥ ρsṪ ¥