Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

¤¢¢¢§§§§§§Concepts généraux 57La précision locale dépend alors de δt, et l’exposant de la formule 2.198 n’est plusexact : au lieu de 1 5¡ il faut utiliser 1 4¡ .En tenant compte du fait que ces deux exposants diffèrent assez peu et que lesestimations de l’erreur ne sont pas exactes, on utilise, de façon pragmatique, la formulesuivante pour actualiser le pas de temps local :α ¢£ ¢¢¢§Smin i §§§§Smin i §§§E 0 iE i§E 0 iE i§1 51 4si δt augmentesi δt diminueoù S est un facteur de sécurité légèrement inférieur à 1.(2.202)2.7.3. θ–méthodesLes θ–méthodes sont des méthodes implicites. Il existe deux formulations possibles.Soit ∆v¢ l’incrément du vecteur v¢ sur le pas de temps ∆t ; on peut évaluer∆v¢ de deux façons différentes (avec 0 θ 1) :∆v¢ ¢∆t ˙v¢ t θ∆t¡ type 1∆t ¥ 1 ¥ θ¡ ˙v¢ t¡ θ ˙v¢ t ∆t¡¥¡ type 2(2.203)Pour ¢ θ 0 on retrouve le schéma explicite d’Euler. Si ¦ ¢ θ 0 les équations précédentesdoivent être résolues afin de trouver ∆v qui les satisfait.Méthode type 1 (point milieu généralisé)Pour trouver ∆v¢ il suffit de résoudre le système non linéaire d’équations suivant :R¢ ¢¡ ∆v¢ ¥ ∆t ˙v¢ t θ∆t¡ ¢ 0¢ (2.204)On utilise alors une méthode de Newton pour laquelle il faut évaluer le jacobien J¡ del’équation précédente :¢∂ R¢∂ ∆v¢J¡¢ 1¡ ¥ ∆t˙v¢ ∂∆v¢ ∂§§§t¤ θ∆t §(2.205)Méthode type 2 (trapèze généralisé)Pour trouver ∆v il suffit de résoudre le système non linéaire d’équations suivant :R¢ ¢¡ ∆v¢ ¥ ∆t 1 ¥ θ¡ ˙v¢ t¡ θ ˙v¢ t ∆t¡¥¡£¢¡ 0¢ (2.206)