Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

˙λ ¢:Plasticité et viscoplasticité 3D 87Dans le cas particulier de l’élasticité isotrope, et du critère de von Mises, on obtientsuccessivement les simplifications suivantes :Λ i jkl ¢ λδ i j δ kl µ δ ik δ jl δ il δ jk ¡¡ n¨ ¢3s ¨2 J(3.61)n i j Λ i jkl ¢ 2µn kl ¡ n i j Λ i jkl n kl ¢ 3µ¡ n i j Λ i jkl ˙ε kl ¢ 2µn kl ˙ε kl (3.62)¢2n¨ ˙λ : (3.63)3˙ε¨Pour un chargement uniaxial, avec ˙ε ¢ ˙ε 11 , cette dernière expression se réduit à :˙λ ¢ ˙εsigne σ¡¡ qui redonne : ˙ε p ¢ ˙ε (3.64)3.5.2. Cas d’un matériau écrouissableComme l’indiquent les deux exemples du paragraphe précédent, la condition decohérence se met toujours sous la même forme, pour les lois de comportement courantesdes matériaux isotropes. Par comparaison avec le cas du matériau parfaitementplastique, seule va changer cette condition de cohérence ; il faut donc maintenant partirde :˙σ¨ ¢ Λ¨¨ : ˙ε¨ ¥ ˙ε¨p ¡ et : n¨ : ˙σ¨ ¢ H ṗ (3.65)Après multiplication des deux membres de la première relation par n¨ , il vient cettefois-ci :n¨ : Λ¨¨ : ˙ε¨H n¨ : Λ¨¨ : n¨(3.66)Ceci permet donc de définir le comportement tangent en élastoplasticité :˙σ¨ ¢ Λ¨¨ : ˙ε¨ ¥ ˙ε¨p ¡£¢¡Λ¨¨ ¥: n¨ ¡ n¨ : Λ¨¨ ¡Λ¨¨ n¨ H Λ¨¨ : n¨ : ¤˙ε¨ (3.67)On remarque que l’opérateur élastoplastique tangent est parfaitement symétrique.Dans le cas de l’élasticité isotrope et d’un matériau de von Mises, l’expression dumultiplicateur devient :˙λ ¢2µn¨ : ˙ε¨H 3µ(3.68)3.6. Plasticité non associéeLes modèles qui ont été décrits jusqu’à présent utilisent la même fonction commelimite du domaine d’élasticité, pour la détermination de la direction de l’écoulement,