Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

46 Mécanique non linéaire des matériauxL’ordre d’une méthode itérative donne une mesure de sa vitesse de convergence.A l’ordre 1 on obtientε n¤ 1 g s¡ ε n (2.120)et à l’ordre 2ε n¤ 112 g s¡ ε2 n (2.121)Application à la méthode de NewtonDans le cas de la méthode de Newton, on réalise un développement limité autourde x n pour trouver x n¤ 1 :Soitf x n¤ 1¡ ¢ f x n ¡ x n¤ 1 ¥ x n ¡ f x n ¡ ¢ 0 (2.122)x n¤ 1 ¢ x n ¥Ceci nous ramène à la méthode du point fixe avecf x n(2.123)¡f x n ¡g x¡£¢ x ¥x¡ fx¡(2.124)fetOn aOn remarque quex¡f x¡ f x¡gx¡(2.125)f¢2x¡fgx¡¥ 2 f f 2x¡ x¡f x¡f x¡ ¢3x¡ x¡ f f(2.126)f x¡ 2g s¡ ¢ 0 (2.127)La méthode de Newton est donc d’ordre 2. En outre, il existe un intervalle autour de stel que g s¡ ¢ 1. La méthode de Newton converge toujours pour une valeur initialex 0 suffisamment proche de la solution.Application à la méthode de Newton modifiéeDans le cas de la méthode de Newton modifiée, on réécrit l’équation 2.122 sous laformef x n¤ 1¡ ¢ f x n ¡ x n¤ 1 ¥ x n ¡ K ¢ 0 (2.128)où K est une constante. On a doncx n¤ 1 ¢ x n ¥f x n ¡K(2.129)