Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

Plasticité et viscoplasticité 3D 853.4.2. Loi de Hencky–MisesLes équations précédentes doivent être intégrées pour obtenir le trajet de déformationplastique. Dans le cas général, la normale n¨ tourne au cours du chargement,si bien qu’il y a un couplage entre les composantes de la déformation plastique. Onretrouve un découplage lorsqu’on peut faire l’hypothèse de chargement simple, c’est–à–dire lorsque le chargement extérieur en termes de contraintes croît proportionnellementà un seul paramètre scalaire k, à partir d’un état initial non écroui. Lorsque lescontraintes varient entre zéro et σ¨ M, on peut alors écrire respectivement, k variant de0 à 1 :¢ σ¨ k M σ¨ ¢ ; k M ; s ¨ ¢ k s ¨ M ; J ¢ k J M (3.48)˙σ¨ ˙σ¨La normale a donc une direction constante au cours du chargement :n¨ ¢32¨sM(3.49)J MPour obtenir le tenseur de déformation plastique, il suffit donc de calculer la déformationplastique équivalente :Or :p ¢0§ tṗdt ¢0§ t: 3 s n¨ M MH˙σ¨: ˙k J M ˙k2 J M H H¢ σ¨ ¢˙λdt (3.50)(3.51)Donc, k e étant la valeur de k pour lequel on rencontre le domaine d’élasticité intial(k e J M σ ¢ y ) :σ¨ ¡ ¥ J σ y(3.52)Hε p ¢ pn¨ avec p ¢J MH k ¥ k e¡ ¢3.4.3. Loi de PragerC’est la loi obtenue en utilisant le critère de von Mises et une règle d’écrouissagecinématique linéaire. Il faut pour cela introduire une variable d’écrouissage Ẍ ,associée à la déformation plastique, qui s’écrit : ¢ Ẍ 3¡ Hε¨ 2 p . Cette variable estdéviatorique, la fonction de charge s’écrit donc simplement :La condition de cohérence s’écrit :∂ f∂σ¨: ˙σ¨ f σ¨ ¡ Ẍ¡£¢ J σ¨ ¥ Ẍ¡ ¥ σ y (3.53)∂ f∂Ẍ : Ẋ¨ ¢ 0¡ soit n¨ : ˙σ¨ ¥ n¨ : Ẋ¨ ¢ 0 (3.54)