Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

76 Mécanique non linéaire des matériauxde matériaux [HAL 75], intéressante d’un point de vue théorique, car l’existence dupotentiel permet de démontrer des théorèmes d’existence et unicité des solutions, estsuggérée par la thermodynamique des processus irréversibles.La dissipation intrinsèque évaluée par l’approche thermodynamique s’écrit :φ 1 ¢ σ¨ : ˙ε¨ p ¥ A I ˙α I (3.4)Dans ce formalisme, les variables A I sont les variables d’écrouissage (scalaires outensorielles) associées aux variables d’état α I . Elles se déduisent de celles-ci dès lorsque l’on a fixé la forme de l’énergie libre spécifique ψ :A I ¢ ρ ∂ψ∂α I(3.5)On notera que la contrainte est une variable flux particulière, à laquelle est associél’opposé de la déformation plastique. On considère alors le vecteur Z constitué parles composantes du tenseur de contraintes et celles des variables A I , et le vecteur z,constitué par les déformations plastiques et les variables (-α I ), si bien que :φ 1 ¢ Zż (3.6)La positivité de cette dissipation peut être assurée a priori si on admet l’existenced’un potentiel Ω fonction à valeurs réelles des variables flux, définissant l’évolutiondes variables d’état :¢∂Ωż (3.7)∂ZIl suffit en effet que les équipotentielles définies par Ω dans l’espace des variablesflux soient des surfaces convexes et qu’elles contiennent l’origine. Un cas particulierimportant est obtenu lorsque Ω dépend des variables flux au travers de la fonctionseuil f . Dans ce cas, les vitesses des variables d’état s’expriment :ż ¢∂Ω∂ f∂ f∂Z(3.8)Dans le membre de droite de l’expression précédente, le premier terme est scalaire,et désigne l’intensité de l’écoulement, le second terme a la dimension de l’espace desvariables flux, il donne la direction de l’écoulement, qui est donc définie par la normaleà la surface de charge. La direction de l’écoulement (visco)plastique est donnée par∂ f ∂σ¨ , et la direction d’évolution des variables d’écrouissage par ∂ f ∂A I .3.2. Formulation des lois de comportement3.2.1. Définition des variables d’étatDans la suite, on notera n¨ le gradient de f par rapport à σ, n¨ ¢ ∂ f ∂σ¨ . On décritdans un premier temps la classe des modèles standards généralisés définis dans le paragrapheprécédent, qui sont bâtis autour de la seule définition de la fonction de charge.