MastÃ¨re COMADIS Lois de comportement non linÃ©aires des matÃ©riaux

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¤¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¥¦¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢68 Mécanique non linéaire des matériaux6 743C1 24 5433AB1 2 1 21 2 3Figure 2.18. Exemple de maillage (mailles : A,B et C) montrant la numérotation globale desnœuds et la numérotation locale (en italique).La matrice de rigidité élémentaire K A est une matrice pleine de taille 66. L’assemblagedes vecteurs £ F Ai, FiB £ ¥et Fi C ¥ donne le vecteur F i¢ tel que :£ ¥F i¢ ¢£ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢Fx 1 FxA1 ¢Fy 1 FyA1 ¢Fx 2 Fx A2 FxB1 ¢ Fy 2 Fy A2 FyB1 ¢ Fx 3 FxB2 ¢Fy 3 FyB2 ¢Fx 4 Fx A3 Fx B4 FxC1 ¢ Fy 4 Fy A3 Fy B4 FyC1 ¢Fx 5 Fx B3 FxC2 ¢Fy 5 Fy B3 FyC2 ¢Fx 6 FxC4 ¢Fy 6 FyC4 ¢Fx 7 FxC3 ¢Fy 7 FyC3 ¢§ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢(2.268)L’assemblage des matrices élémentaires K A , K B et K C donne une matrice dontles termes non nuls correspondent à des couples de colonnes et de lignes dont lesnuméros représentent des nœuds figurant dans le même élément, ou des nœuds qui
¡ ¢ ¡¡¡ ¢ ¡¡¦¥¡¡¡¡¥¢¥¡¡¡¡¥¢£¡¨¡L¨¨ c ¢§¡∂∆σ¨∂∆ε¨¨§¦Concepts généraux 69ont été connectés par l’utilisateur :K¡ ¢¤£¡£ £¥£¡¦¡¦ ¦¢¦ ¡¤£¡£ £¥£¡¦¡¦ ¦¢¦ ¡¦¡¦¡¦¢¦¡¦¥¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¢¦¡¦¥¦¡¦¡¦¤£¡£¡¦¢¦¡§¢§©¨¥¨¡¤£¡£¡¦¢¦¡§¢§©¨¥¨¡¨¡¨¡¨¥¨¦¡¦¡¦¢¦¦¡¦¡¦¢¦¨¡¨¡¨¥¨¡¥¢¡¥¢¥¡¡¡¡¥¢AB£CA et BA et CB et CA, B et C(2.269)¥¡¡¡¡¥¢Les différents symboles ¡¡ ¡indiquent que les termes correspondantsde la matrice K¡ sont la somme de termes provenant des différentes matrices élémentaires.Par exemple :K T 10¢ 7 ¢ K B 6¢ 7 K C 4¢ 1 (2.270)2.8.8. Principe de la résolutionEn pratique il n’est pas possible, même dans le cas d’un chargement monotone, derésoudre 2.262 pour un chargement quelconque. Du fait des non–linéarités, le processusitératif de recherche de la solution ne converge pas. On effectue donc un chargementprogressif en un certain nombre d’incréments. A l’instant t, la solution u¢ t estconnue. On applique alors un incrément ∆t, et on cherche de façon itérative l’incrémentde solution ∆ u¢ correspondant. L’algorithme est schématisé par la figure 2.19.Note : Pour chaque incrément, on cherche l’incrément ∆ u¢ de manière itérative.Celui–ci est généralement initialisé avec ∆ u¢ ¢ 0¢ . On peut toutefois (en particulierdans le cas d’un chargement monotone) initialiser ∆ u¢ pour l’incrément j ¢ 1 à partirde la solution de l’incrément j ¥ 1 :u¢incrément¢j ∆t j∆initialu¢incrément∆j¤ 1solution(2.271)∆t j 1 ¤2.8.9. Le comportement dans la méthode des éléments finisLe comportement mécanique dans la méthode des éléments finis doit donc pourun incrément de déformation ∆ε¨ donner l’incrément de contrainte correspondant ∆σ¨ainsi que la matrice tangente cohérente du comportement(2.272)
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