Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

§§Concepts généraux 61¡Figure 2.17. Points de Gauss dans l’élément de référence : élément carré à 8 nœuds, élémenttriangle à 6 nœuds. ( nœud, point de Gauss).une somme discrète sous la forme (exprimée ici en unidimensionnel) :§ 1¤ 1f x¡ dx ¢ w i f x i ¡ (2.226)où les x i sont des positions prédéfinies d’évaluation de la fonction f (points de Gauss)et les w i des poids associés à chacun de ces points. Une intégration discrète à n pointsde Gauss permet d’évaluer exactement un polynôme d’ordre ¥ 2n 1. Dans le cas despolynômes d’ordre supérieur ou de fonctions non polynomiales, l’intégration de Gaussfournit une approximation de la véritable intégrale. La méthode est ensuite facilementétendue aux cas 2D et 3D dans le cas des éléments de référence carrés (2D) ou briques(3D) pour lesquels les positions et les poids des points de Gauss peuvent être calculésà partir du cas 1D. Dans le cas des éléments triangles (2D) et tétraèdres (3D), lespositions et les poids doivent être calculés spécifiquement.Une intégrale effectuée sur le volume d’un élément fini V e peut se transformer dela façon suivante afin de réaliser l’intégration sur l’élément de référence V r :V ef x¡ dx ¢V rf η¡ Jdη ¢ f η i ¡ Jw i ¡ (2.227)où η i représente la position des différents points de Gauss dans l’espace de référence(figure 2.17). On appellera v i le volume du point de Gauss i, avec :v i ¢ Jw i (2.228)2.8.3. Discrétisation des champs d’inconnuesLes champs d’inconnues (déplacement, température, pression, etc.) doivent égalementêtre discrétisés afin de permettre la résolution du problème. Ces champs peuventêtre définis :