Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

β i ¢¦¥Concepts généraux 49où d¢ i est la direction de recherche. On cherche α i et β i de sorte à minimiser V u¢ ¡ ,soit :On a :et∂V∂α i¢∂V∂β¢i∂VU¢©∂ i¤ 1∂VU¢©∂ i¤ 1∂V∂α i¢ 0∂V∂β i¢ 0 (2.147)∂ U¢ i¤ 1∂α i¢ ¡ K¡ © U¢ i¤ 1 ¥ F ¢ ¢ © d¢ i ¢ r¢ i¤ 1 © d ¢ i ¢ 0 (2.148)∂ U¢ i¤ 1∂β i¢¡ r¢ i¤ 1 © ¡ α i d¢ i¤ 1¢ ¢ α i r¢ i¤ 1 © d ¢ i¤ 1 ¢ 0 (2.149)Le problème revient alors à trouver α i et β i tels queOn ai¤ © r¢ ¢ ¢ r¢ ¢ i¤ i¤ ¢1 d i 0 (2.150)1 d 1 0 (2.151)i¤ ¢ F¢ K¡ © U¢ i¤ 1 r¢ 1¥ K¡ © ¡ U¢ i α i r¢ i α iβ ¢ ¥ F¢ i 1¢ i¤ d¢¥ © U¢ i α i K¡ © ¡ r¢ i β i d¢ i¤ 1¢¢ F¢ K¡i α i K¡ © ¡ r¢ i β i d¢ i¤ 1¢ r¢ ¢r¢ i α i K¡ © d¢ i (2.152)¢En notant que par construction, on a i d ¢ i¤ 1 ¢ 0, on obtientr¢ ©r¢ i¤ 1 © d ¢ i¤ 1 ¢ α i d¢ i¤ 1 © K¡ © ¡ r ¢ i β i d¢ i¤ 1¢ ¢ 0 (2.153)Soiti¤ 1 r K¡ © ¢ id¢ © 1 d © K¡ © ¢ i¤ 1i¤ d¢(2.154)β i correspond au coefficient de descente optimal. A partir de β i , il est possiblede calculer i . En utilisant la relation r i¤ 1 ¢ r¢ i ¢ d¢1 d © ¢ i ¢ 0, on obtient :i¤ r¢α i K¡ © d¢ i et l’équationα i ¢ ¥r¢ i © d ¢ id¢ i © K¡ © d ¢ i(2.155)Ceci correspond à une orthogonalisation, au sens du produit scalaire associé à K¡du nouveau gradient par rapport à la direction précédente. Le principal avantage dela méthode du gradient conjugué est qu’il n’est pas nécessaire de calculer la matriceK¡ ¤ 1 . Le plus grand volume de calcul réside dans les produits matrice–vecteur. Lesautres phases du calcul ne sont que de simples produits scalaires et combinaisonslinéaires de vecteurs. Dans un contexte éléments finis, il n’est pas nécessaire de stockerla matrice globale K¡ mais il faut alors recalculer les matrices élémentaires à chaqueitération.