Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

¡J78 Mécanique non linéaire des matériauxLe premier terme de l’expression précédente donne l’intensité de l’écoulement, il estbien égal à σ K¡ n pour une sollicitation de traction simple. La dérivée partielle deJ par rapport à σ¨ s’évalue simplement par :∂J∂σ¨∂J∂s ¨¢:∂s ¨¢32 ∂σ¨¨sJ : I ¨¨¥13 I I ¨ ¡ ¢32¨¨sJ(3.14)Comme on l’a déjà souligné, pour un tel type de modèle, la limite d’élasticité estnulle en permanence, et le domaine d’élasticité est réduit à un point. Ce cas serait sansintérêt pour un modèle de plasticité indépendante du temps.Pour retrouver le modèle de Bingham, il suffirait de prendre une fonction du seconddegré :σ¨ η ¡ ¥2σ yΩ (3.15)2 η¢ ¤3.2.3. De la viscoplasticité à la plasticitéLa figure 3.1a montre la forme du potentiel viscoplastique Ω, fonction monotonecroissante de f , telle que Ω 0¡ ¢ 0, qui illustre le fait que l’intensité de l’écoulementdépend de l’«altitude» du point de fonctionnement courant, et que, géométriquement,la direction du vecteur vitesse de déformation inélastique est normale auxsurfaces équipotentielles. Lorsque la fonction Ω devient de plus en plus non linéaire,(par exemple en faisant le choix d’une fonction puissance dont l’exposant n tend versl’infini), les projections des équipotentielles sur l’espace (σ¨ ¡ A I ) se resserrent autourde la surface f ¢ 0. On définit ainsi une zone de l’espace dans laquelle le potentielest nul, et une autre où il varie très rapidement. A la limite, Ω se confond avec lafonction indicatrice du domaine d’élasticité (figure 3.1b), et on ne peut plus définirl’intensité de l’écoulement par ∂Ω ∂ f . Cet effet correspond naturellement au fait quela vitesse d’écoulement en viscoplasticité est définie par l’«excès de contrainte», oudistance entre le point de fonctionnement courant et la surface de charge, et que cet excèsde contrainte reste nul en plasticité, puisque le point de fonctionnement reste sur lasurface de charge pendant l’écoulement ( f σ¨ ¡ A I ¡ ¢ 0). On illustre ainsi la différencede nature entre les théories de viscoplasticité et de plasticité. Le cadre viscoplastiqueautorise, pour écrire un modèle, une grande liberté dans le choix de la fonction de viscosité,alors que, dans le cadre de la plasticité (dans les conditions examinées jusqu’àprésent), l’expression même du domaine d’élasticité détermine l’intensité de l’écoulement.Il faut donc introduire un élément supplémentaire pour traiter le problème en plasticité.On suppose alors que l’on maximise la dissipation intrinsèque Φ 1 . Commecette maximisation doit être effectuée sous contrainte, pour exprimer le fait que freste négatif ou nul, on forme [LUE 84] :Z¡ ¢ Zż ¥ ˙λ f (3.16)