Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

Concepts généraux 172.3.2. DissipationLa méthode de l’état local postule que l’état thermomécanique du milieu en unpoint et à un instant donné est complètement défini par la donnée de variables d’état,ne dépendant que du point considéré. L’évolution du système est considérée commeune suite d’états d’équilibre, les dérivées des variables n’intervenant pas pour définirl’état. L’énergie libre définit un potentiel qui dépend de la température et des variablesd’état α I qui caractérisent le système mécanique. Il est donc possible d’exprimer ladérivée de Ψ sous la forme :dψ¢∂ψdt ∂T Ṫ ∂ψα˙I (2.20)∂α IEn introduisant cette expression dans 2.19, on obtient successivement :s ¢ ¥∂ψ∂T(2.21)ρ ∂ψ α˙I ¥∂α I1T q © grad T¡ 0 (2.22): σ¨ ¥ ˙ε¨L’expression 2.22 met en évidence deux types de contribution à la dissipation, la dissipationintrinsèque volumique φ 1 et la dissipation thermique volumique φ 2 :φ 1 ¢ ¥ : ρ ∂ψ σ¨ α˙I (2.23)˙ε¨∂α I1φ 2 ¥ © q T¡ grad (2.24)T¢2.3.3. Équation de la chaleurIl est classique de considérer que les dissipations intrinsèque et thermique sontdécouplées, et qu’il faut donc assurer séparément leur positivité. Celle de la dissipationthermique est assurée si on admet la loi de conduction de Fourier. Dans le cas d’unmatériau isotrope, elle s’exprime par :q ¢ ¥ k T ¡ α I ¡ grad T¡ (2.25)La fonction scalaire k, à valeurs strictement positives, représente la conduction (enW/m/K). Cette forme assure la positivité de φ 2 , et indique que la chaleur se déplacedes zones chaudes vers les zones froides. Dans le cas où la conduction est anisotrope,elle sera définie par une forme quadratique non négative :1φ 2 gradT © k¨ © gradT (2.26)T¢