Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

la funzione indicatrice dell’evento E j α,x. Risulta
E(I j α,x) = prob(E j α,x) = Sα (x)
S α (x − α) = x−αpα . (56)
Per ogni x ≥ α si indichi con L α x il numero dei sopravviventi all’età x (fra gli Lα iniziali).
Si ha che
L α Lα
x = I
j=1
j α,x . (57)
Se tD α x è il numero di decessi nella generazione fra le età x e x + t si ha che
Risulta che
E(L α ⎛
Lα
x) = E ⎝
I
j=1
j α,x
⎞
Lα
⎠ =
tD α x = L α x − L α x+t . (58)
j=1
E I j
α,x =
Lα
prob(E
j=1
j α,x) = Lα · x−αpα , (59)
E(tD α x ) = E(L α x) − E(L α x+t) = Lα(x−αpα − x+t−αpα) = Lα · x−α|tqα . (60)
In particolare la conoscenza di E(L α x) per ogni x > α permette pertanto di calcolare
tutte le probabilità di sopravvivenza del tipo x−αpα e quindi di ricostruire la funzione di
sopravvivenza per x ≥ α, dato che x−αpα = S α (x)/S α (α).
La tavola di sopravvivenza come modello probabilistico (a tempo discreto) è basata su
questo fatto e riporta per ogni generazione α i valori di
ℓ α x = E(L α x) . (61)
Spesso la tavola è svincolata dalla generazione e riporta un’unica colonna di valori (“medi”)
che vale per tutte le generazioni. La radice della tavola è ℓ0 = L0 e viene solitamente
posto ad un valore convenzionale (tipicamente 100 000).
Le grandezze attuariali possono essere calcolate direttamente dalla tavola secondo le
relazioni
tpx = ℓx+t
ℓx
tqx = ℓx − ℓx+t
ℓx
t1|t2qx ℓx+t1 − ℓx+t1+t2
=
ℓx
, (62)
Il numero atteso di decessi fra le età x e x + t si indica con tdx e risulta
, (63)
. (64)
tdx = ℓx − ℓx+t . (65)
Esempi di calcolo con le tavole italiane SIM e SIF sono nella cartella Excel lab1.xls.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005) pag. 9