Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Osservazione A.2.1. Le ipotesi della valutazione appena esposte non sono adeguate al caso
italiano, dove la normativa impone che le gestioni separate abbiano un contenuto prevalentemente
obbligazionario. Modelli di mercato più adeguati sono però basati su processi stocastici
molto più complessi del moto Browniano geometrico, che rendono l’analisi molto più complicata.
I risultati della valutazione che otterremo in questo contesto modellistico più semplice
potranno tuttavia essere considerati una “prima approssimazione”. 24
A.2.1 Il calcolo del fattore di valutazione
Il calcolo del fattore di valutazione verrà condotto in due passi: verrà prima analizzato il caso
t = 1 e poi il caso generale.
Lemma A.2.2. Se t = 1 si ha che
dove
V 0, Φ(0, 1) = 1 −r
(1 − β) e + β N(d1) + (i + β)e
1 + i
−r N(−d2) , (215)
d1 =
r − log
1 + i
β
σ
+ 1
2 σ2
, (216)
d2 = d1 − σ (217)
e N è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard.
Dimostrazione. Applicando la definizione di ρ1 e I1 e le proprietà dell’operatore max, il payoff
Φ(0, 1), esigibile al tempo 1, può essere scritto nella forma
Φ(0, 1) = 1 + ρ1
= 1
1 + i [1 + max(βI1 , i)]
= 1
1 + max β
1 + i
S1
− β , i
S0
= 1
S1
1 − β + β max ,
1 + i
S0
i + β
β
= 1
1 − β +
1 + i
β
max S1 , 1 + i
β
Per linearità il suo valore di mercato in zero è
Posto
V 0, Φ(0, 1) = 1
1 + i
S0
(1 − β) e −r + β
K =
S0
V
0, max S1 ,
1 + i
β
S0 ,
S0
1 + i
β
che è costante alla data di valutazione, per il corollario A.1.7 risulta
.
S0
. (218)
V 0, max(S1 , K) = S0 N(d1) + K e −r N(−d2)
= S0
β N(d1) + (i + β) e
β
−r N(−d2) , (219)
24 Per degli esempi di valutazione metodologicamente corretti si veda C. Pacati (2003), Financial Valuation of
a New Generation Participating Life-Insurance Contract e G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi e C. Pacati
(2005), Embedded Value in Life Insurance.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, appendice (v. 26/12/2005) pag. 59