Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

1 Le operazioni di assicurazione e la teoria dell’utilità
1.1 L’operazione di assicurazione
Un contratto di assicurazione è un accordo fra due parti, nel quale l’assicurato trasferisce
all’assicuratore un danno che può verificarsi in futuro, in cambio di un premio che paga alla
data di stipula. Il premio è il prezzo che l’assicurato paga per l’eliminazione del rischio che si
verifichi il danno.
Considereremo in questa sede una situazione semplificata uniperiodale e solo dal punto
di vista dell’assicuratore.
Si assuma che al tempo t0 = 0, data di stipula del contratto, l’assicuratore abbia un
capitale proprio certo c > 0; sia u la sua funzione di utilità (crescente e concava) e prob la
distribuzione di probabilità in base alla quale l’assicuratore attribuisce probabilità agli eventi.
Si assuma che il danno D oggetto del contratto si possa verificare al tempo t1 = 1 e
che l’assicurato paghi il premio P al tempo t0. Il danno è una variabile aleatoria, le cui
determinazioni si misurano in unità monetarie; si assumerà che
prob(D ≥ 0) = 1 e che prob(D > 0) > 0 . (1)
Si osservi che, nel caso D abbia un numero finito di determinazioni con probabilità non nulla
(caso finito e discreto), la (1) significa che tutte le determinazioni sono non negative e che
almeno una è positiva. Si assumerà inoltre che D sia non degenere, cioè che sia effettivamente
aleatoria.
Se si ipotizza per semplicità che l’assicuratore non abbia in corso altri contratti, dopo la
stipula del contratto la sua posizione al tempo t1 sarà
Z1 = (c + P )(1 + I) − D , (2)
dove I è il rendimento dell’investimento del capitale proprio e del premio per il periodo
[t0, t1] ed è in generale aleatorio. Poichè prima della stipula la sua posizione t1 era c(1 + I),
la condizione di indifferenza per l’assicuratore è che risulti
E0 u (c + P )(1 + I) − D = E0 u c(1 + I) , (3)
essendo E0 l’aspettativa condizionata all’informazione disponibile al tempo t0 e calcolata
secondo la probabilità prob. Naturalmente, nel caso nella (3) risulti la disuguaglianza “>”,
l’assicuratore percepirà vantaggiosa l’operazione di assicurazione, mentre se dovesse risultare
“ 0 e che l’aleatorietà del danno D sia indipendente da
quella del mercato finanziario. La (3) diventa allora
E0 u (c + P )(1 + i) − D = u c(1 + i) , (4)
essendo certa la posizione non assicurata.
Si noti che la (4) è strutturalmente diversa dalla condizione di equità dello scambio
che equivale a
E0 [(c + P )(1 + i) − D] = c(1 + i) , (5)
P = E0 (D)
1 + i
. (6)
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 1