Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Nella pratica assicurativa, per semplicità contrattuale, il premio unico ricorrente di tariffa è
normalmente costante.
Esempio 3.3.3. Un contratto di capitalizzazione a premio unico ricorrente Π (costante), tasso
di caricamento h (costante) e durata di n anni, prevede il versamento di n premi ai tempi
0, 1, . . . , n − 1. Alla stipula si ha il versamento del primo premio, cui corrisponde il premio
puro
P = Π(1 − h)
e il capitale a scadenza
C0,n = P (1 + i) n = Π(1 − h)(1 + i) n .
Con il versamento del secondo premio al tempo 1 si attiva la seconda linea, che ha lo stesso
premio puro e capitale a scadenza
C1,n = P (1 + i) n−1 = Π(1 − h)(1 + i) n−1 .
Così continuando, per ogni ℓ < n si attiva una linea con capitale a scadenza
Cℓ,n = P (1 + i) n−ℓ = Π(1 − h)(1 + i) n−ℓ .
Alla scadenza contrattuale la prestazione complessiva è la somma delle prestazioni attivate
con ciascuna linea:
n−1
ℓ=0
n−1
Cℓ,n = Π(1 − h)
ℓ=0
(1 + i) n−ℓ = Π(1 − h)(1 + i) n
n−1
ℓ=0
(1 + i) −ℓ = Π(1 − h) (1 + i)n − 1
1 − v
Si osservi che il premio puro è costante ma, se i > 0, il capitale a scadenza attivato è
decrescente con ℓ.
Esempio 3.3.4. In una polizza di capitale differito a premio unico ricorrente Π (costante),
tasso di caricamento h (costante) e durata n anni, il premio puro di ciascuna linea è sempre
lo stesso e vale
P = Π(1 − h) .
Il capitale assicurato della linea ℓ è
ed è quindi funzione di ℓ.
Cℓ,n =
P
n−ℓEx+ℓ
= Π(1 − h)
n−ℓEx+ℓ
Esempio 3.3.5. Anche in una polizza mista a premio unico ricorrente Π (costante), tasso di
caricamento h (costante) e durata n anni il premio puro è costante: P = Π(1 − h). Il capitale
assicurato attivato con la linea ℓ è
P
Π(1 − h)
Cℓ,n =
=
.
n−ℓEx+ℓ + n−ℓAx+ℓ
n−ℓEx+ℓ + n−ℓAx+ℓ
In caso di morte alla data k (prima del versamento del premio previsto in k), la prestazione
caso morte Yk che viene pagata è quella costituita con le k linee attivate fino a quella data:
k−1
Yk =
ℓ=0
Cℓ,n .
Il capitale assicurato caso vita a scadenza è la somma dei capitali assicurati costituiti con il
versamento di tutti i premi
n−1
Cn =
ℓ=0
e, rispetto alla polizza mista a premio annuo con lo stesso capitale assicurato caso vita, la
prestazione caso morte in k < n è minore.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 21
Cℓ,n
.