Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

ivalutazione annuale del capitale assicurato a premio unico puro. Sia Ct−1 il capitale assicurato
come rivalutato fino alla ricorrenza anniversaria t − 1. Se si indica con C agg
k l’incremento
di prestazione aggiunto alla ricorrenza anniversaria k-esima, risulta naturalmente che
t−1
Ct = C0 +
essendo C0 il capitale inizialmente assicurato. Al tempo t, subito prima della rivalutazione,
la riserva matematica della polizza è
k=1
C agg
k
xVt = Ct−1 n−tEx+t .
Sia ρt il tasso di rivaluazione per l’anno [t − 1, t]; l’utile da retrocedere alla polizza è
∆ retr
t
= xVt ρt = Ct−1 n−tEx+t ρt .
Il tasso di premio unico puro della polizza aggiuntiva n−tux+t, cioè il premio unico puro per
unità di capitale assicurato della polizza di capitale differito per n − t anni è
n−tux+t = n−tEx+t .
Si osservi che il tasso di premio unico puro coincide con il tasso di riserva prestazioni: in
entrambi i casi è il valore attuale attuariale, secondo la base tecnica del I ordine, delle prestazioni
residue della polizza. Il capitale assicurato della polizza aggiuntiva, cioè il capitale
aggiuntivo C agg
t , si determina imponendo la condizione che il premio della polizza aggiuntiva
sia uguale all’utile da retrocedere:
da cui si ottiene che
C agg
t
∆retr t
=
n−tux+t
C agg
t n−tux+t = ∆ retr
t
= xVt
ρt =
n−tux+t
Ct−1 n−tux+t
ρt = Ct−1 ρt .
n−tux+t
La riserva della polizza aggiuntiva è uguale al premio unico puro e quindi
tV agg
x
= ∆ retr
t
L’effetto della rivalutazione è quello di incrementare il capitale assicurato secondo la regola
La riserva della polizza dopo la rivalutazione è
.
,
,
Ct = Ct−1 + C agg
t = Ct−1(1 + ρt) . (205)
tV riv
x = tVx + tV agg
x = tVx + ∆ retr
t
e la rivalutazione trasforma quindi l’utile retrocesso in incremento di riserva della polizza.
Osservazione 6.2.3. La regola di rivalutatazione del capitale assicurato vista nell’esempio 6.2.5
è di tipo ricorrente
Ct = Ct−1(1 + ρt)
e si chiama regola di rivalutazione piena. Indicando con C0 il livello iniziale del capitale
assicurato, stabilito contrattualmente alla stipula, la regola di rivalutazione piena ammette
la soluzione in forma chiusa
t
(1 + ρt) .
Ct = C0
k=1
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 45