Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Usando il teorema di Bayes 2 si ha che
Fx(t) = prob(x < T0 ≤ x + t)
prob(T0 > x)
(26)
= F0(x + t) − F0(x)
1 − F0(x)
(27)
= S(x) − S(x + t)
S(x)
(28)
S(x + t)
= 1 −
S(x)
. (29)
Nel modello probabilistico tradizionale (o “standard”) la distribuzione di probabilità della
vita residua di un individuo è completamente dalla funzione di sopravvivenza S, che è fissata
“alla nascita”. Non si considera la possibilità che avvengano delle innovazioni successive.
La grandezza
ωx =
ω − x se ω < +∞,
+∞ se ω = +∞,
è il limite superiore alla durata residua della vita di un individuo di età x.
2.3 Notazioni attuariali
Per un individuo di età x anni e in riferimento ad una durata t anno si usano le seguenti
notazioni abbreviate:
tqx = Fx(t) = 1 −
S(x + t)
S(x)
(30)
prob. di morte in t anni, (31)
qx = 1qx , (32)
tpx = 1 − tqx =
S(x + t)
S(x)
prob. di essere in vita dopo t anni, (33)
px = 1px . (34)
Se si considerano poi due durate t1 e t2, la probabilità di morte in t2 anni, differita di t1
anni è definita da:
Si noti che, per definizione,
t1|t2 qx = prob(t1 < Tx ≤ t1 + t2) (35)
= Fx(t1 + t2) − Fx(t1)
= 1 −
(36)
S(x + t1
+ t2) S(x + t1)
− 1 −
S(x)
S(x)
(37)
= S(x + t1) − S(x + t1 + t2)
S(x)
. (38)
0|tqx = tqx . (39)
2 Teorema di Bayes. Dati due eventi A e B con prob(B) = 0, la probabiltà di A condizionata a B può essere
espressa nella forma
prob(A | B) =
prob(A ∩ B)
prob(B)
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005) pag. 7
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