Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Fissato il tasso di rivalutazione ρt, e quindi l’utile da retrocedere ∆retr t = tVx ρt, il capitale
aggiuntivo è dato da
C agg
t
∆retr t
=
n−tux+t
= Ct−1 n−tux+t − P n−täx+t
n−tux+t
ρt = Ct−1 ρt − P n−täx+t
ρt .
n−tux+t
Rispetto alla versione a premio unico si ottiene quindi un termine correttivo a sottrarre.
Ricordando la (206), il termine correttivo può essere scritto nella forma
e quindi
P n−täx+t
ρt = C0
n−tux+t
nux n−täx+t
ρt
n−tux+t näx
C agg
t
= Ct−1 ρt − C0 nux n−täx+t
ρt .
n−tux+t näx
Essendo la regola di rivalutazione a premio unico puro, la riserva matematica della polizza
aggiuntiva coincide con l’utile retrocesso e quindi la riserva matematica complessiva cresce
esattamente dell’utile retrocesso. La regola di rivalutazione del capitale assicurato è
Ct = Ct−1 + C agg
t
= Ct−1(1 + ρt) − C0 nux n−täx+t
ρt .
n−tux+t näx
Osservazione 6.2.4. Si può dimostrare che, nei casi di rilevanza pratica, il coefficiente “attuariale”
del termine correttivo che compare nella regola di rivalutazione a premio unico puro
della polizza di capitale differito a premio annuo dell’esempio 6.2.8 può essere approssimato
efficacemente con
nux n−täx+t
n−tux+t näx
= nEx n−täx+t
n−tEx+t näx
≈
n − t
n
. (207)
Accettando questa approssimazione la regola di rivalutazione del capitale assicurato diventa
Ct = Ct−1(1 + ρt) − C0
n − t
n ρt . (208)
Se ne può ottenere un’interpretazione significativa riscrivendola nella forma
C agg
t
= Ct − Ct−1 = (Ct−1 − C0)ρt + t
n C0 ρt ,
che mostra come il capitale aggiuntivo derivante dalla rivalutazione al tempo t sia la somma
di due componenti:
• l’interesse al tasso ρt sulla rivalutazione intervenuta dalla data di stipula fino alla ricorrenza
anniversaria precedente, cioè sui capitali aggiuntivi corrisposti in anni precedenti;
• l’interesse al tasso ρt sulla frazione del capitale inizialmente assicurato che corrisponde
ai t premi versati fino alla data corrente, rapportati agli n contrattualmente previsti.
L’interpretazione è la seguente: la prestazione è stata pagata per t/n e quindi il capitale
aggiuntivo (che è un interesse) viene calcolato sui t/n del capitale inizialmente assicurato, cui
si aggiunge l’“interesse composto”, cioè la rivalutazione delle rivalutazioni concesse in anni
precedenti, che spetta per intero.
Si noti che la (208), che va sotto il nome di regola degli ennesimi ed è nata come un’approssimazione
della regola metodologicamente corretta, è ormai accettata anche a livello contrattuale.
È infatti più “trasparente” e semplice da spiegare alla clientela e meno complessa
da gestire per l’assicuratore.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 47