Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

decesso dell’assicurato. Nel seguito faremo riferimento soltanto al caso di periodicità annuale
e rata costante R. 5
Una rendita vitalizia può essere temporanea, quando la prestazione si esaurisce dopo un
certo numero di anni. Come nel caso delle rendite certe (non subordinate alla durata della
vita dell’assicurato), le rendite vitalizie possono essere anticipate, quando ciascuna rata è
pagata all’inizio dell’anno di riferimento, o posticipate, quando la rata è pagata a fine anno.
Rendita vitalizia immediata. La rendita vitalizia è immediata quando inzia alla data di
stipula. Indicando con Yk il vettore il pagamento contrattualmente previsto al tempo k.
Rendita vitalizia immediata posticipata. Risulta che per ogni k > 0
e il valore alla stipula è quindi
dove
Yk = R 1 {Tx>k}
(95)
V (0, Y ) = R ax , (96)
ωx
ax = v k kpx . (97)
k=1
Rendita vitalizia immediata anticipata. In questo caso le rate sono pagate a inizio anno. La
prestazione al tempo k > 0 è ancora espressa dalla (95) e si aggiunge la prestazione (certa)
alla stipula Y0 = R. Il valore della rendita è
dove
V (0, Y ) = R äx , (98)
ωx
äx = v k kpx = 1 + ax . (99)
k=0
Rendite temporanee. Se n è la durata della rendita vitalizia immediata, nel caso posticipato
si ha
e il valore è
dove
Yk =
R 1{Tx>k} se 0 < k ≤ n,
0 altrimenti
(100)
V (0, Y ) = R nax , (101)
nax =
n
v k kpx . (102)
k=1
5 Le rendite vitalize frazionate, nelle quali la rata viene pagata con periodicità subannuale, sono in realtà
più frequenti nella pratica assicurativa italiana, ma possono essere trattate in modo simile a quanto verrà fatto
per il caso annuale; le rendite con rata variabile determinsiticamente sono invece poco frequenti, mentre il caso
di rata rivalutabile verrà trattato in seguito.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 15