Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

(1 − β)It
βIt
It
i
1−β
β i
0 i i/β
It
It
max(βIt , i)
It − i
min[(1 − β)It , It − i]
Figura 2: Grandezze coinvolte nella costruzione dell’utile retrocesso e trattenuto
• Se i ≤ It < I/β la situazione è migliore ma non rosea. Il surplus è infatti non negativo e
gli attivi sono quindi sufficienti a coprire la riserva. Il rendimento di gestione ha battuto
il tasso tecnico, ma “di poco”: essendo It < i/β si ha che βIt < i. Quindi il tasso di
rivalutazione è nullo, non vi è utile retrocesso e, poiché
0 ≤ min[(1 − β)It , It − i]
1 + i
= It − i
1 + i
< (1 − β)It
1 + i
l’utile trattenuto è non negativo ma minore di quello che si otterrebbe potendo utilizzare
il rendimento trattenuto (1 − β)It.
• Se infine It ≥ i/β, il surplus è positivo, il tasso di rivalutazione è
βIt − i
ρt = max , 0 =
1 + i
βIt − i
≥ 0
1 + i
e il tasso che determina l’utile trattenuto è
min[(1 − β)It , It − i]
1 + i
= (1 − β)It
1 + i
≥ 1 − β
β
i
≥ 0 .
1 + i
Esempio 6.2.1. Si consideri una polizza con i = 4% e β = 80%. Il tasso tecnico è al livello
tipicamente praticato fino alla fine degli anni ’90, mentre l’aliquota di retrocessione è tuttora
standard per polizze rivalutabili a premio annuo. I livelli critici del rendimento di gestione
sono quindi It = i = 4% e It = i/β = 5%. L’analisi dei tre casi precedenti fornisce:
• Se l’assicuratore non riesce a rivalutare gli attivi di almeno il 4%, la situazione è pessima:
non solo non può retrocedere utile, ma deve coprire con capitale proprio il disutile che
si crea per l’insufficienza di rendimento degli attivi.
• Se 4% ≤ It < 5% la situazione è migliore ma non ottimale. Non si è creato disutile,
ma l’utile generato è scarso: non è sufficiente a retrocederne una parte all’assicurato e
l’utile trattenuto è meno del preventivato 20% del rendimento di gestione.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 42