Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Il fattore Φ(0, t − 1) è noto alla data t − 1 e per la proprietà di indipendenza dall’importo si
ha quindi che
V t − 1, Φ(0, t − 1) Φ(t − 1, t) = Φ(0, t − 1) V t − 1, Φ(t − 1, t) = Φ(0, t − 1) u .
Sostituendo si ottiene che
V 0, Φ(0, t) = V (0, Φ(0, t − 1) u) .
Poiché u è una costante, usando nuovamente l’indipendenza dall’importo e applicando l’ipotesi
induttiva si ha
che conclude la dimostrazione.
V 0, Φ(0, t) = u V (0, Φ(0, t − 1)) = u u t−1 = u t ,
Per concludere l’analisi è opportuno calcolare le scomposizoni put e call del fattore
di valutazione. Esse inducono naturalmente le scomposizioni put e call del valore della
prestazione.
A.2.2 La scomposizione put del fattore di valutazione
La scomposizione put del fattore di rivalutazione è
Φ(0, t) = Φ base (0, t) + Φ put (0, t) ,
dove Φ base (0, t) è calcolato come Φ(0, t) ma con la successione dei tassi di rivalutazione base
ρ base
k
= βIk − i
1 + i
cioè
Φ base t
(0, t) = (1 + ρ
k=1
base
k ) ,
e la componente put del fattore di valutazione è
Lemma A.2.6. Se t = 1 si ha che
Φ put (0, t) = Φ(0, t) − Φ base (0, t) .
,
V 0, Φ base (0, 1) = 1 −r
(1 − β) e + β . (222)
1 + i
Dimostrazione. Ripetendo l’analisi fatta per Φ(0, 1) nella dimostrazione del lemma A.2.2, si
ha che
Φ base (0, 1) = 1 + ρ base
1
= 1
(1 + βI1)
1 + i
= 1
1 + β
1 + i
S1
− β
S0
= 1
1 − β +
1 + i
β
S1
Il valore di mercato del fattore di rivalutazione base è quindi per linearità
S0
V 0, Φ base (0, 1) = 1 −r
(1 − β) e + β .
1 + i
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, appendice (v. 26/12/2005) pag. 61
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