Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

e ricordando che la riserva tVx è non negativa, si ottiene che
∆ retr
t = tVx ρt , (200)
cioè che l’utile da retrocedere è l’interesse al tasso ρt della riserva matematica al tempo t.
L’ultima uguaglianza della (199) mostra che 1 + ρt = [1 + max (βIt , i)]/(1 + i). Il fattore
1/(1 + i) è presente perché il tasso ρt, in base al quale viene calcolato l’utile da retrocedere
per l’anno [t − 1, t], viene applicato alla riserva di fine anno e non a quella di inizio anno. A
meno di quel fattore, il tasso di rivalutazione è il maggiore fra il rendimento attribuito e il
tasso tecnico.
L’utile trattenuto
∆ tratt
t
si può invece esprimere nella forma
= ∆t − ∆ retr
t
∆ tratt
t
= tVx
It − i
1 + i
It − max(βIt , i)
= tVx
1 + i
− ρt
oppure, ricordando le proprietà degli operatori max e min 18 , nella forma
∆ tratt
t
= tVx
(201)
min[(1 − β)It , It − i]
. (202)
1 + i
Quindi, sempre a meno del fattore 1/(1 + i), l’assicuratore si tiene (in senso algebrico) il
minore fra il rendimento trattenuto e lo spread fra il rendimento It e il tasso tecnico.
Nella figura 2 sono mostrate alcune delle grandezze coinvolte nella costruzione dell’utile
retrocesso e trattenuto, in funzione del rendimento It. In riferimento a quella figura, è
immediato osservare che:
• Se It < i l’assicuratore non è riuscito a rivalutare gli attivi in maniera sufficiente e il
surplus è negativo:
It − i
∆t = tVx < 0 .
1 + i
Poiché β > 0, si ha che βIt − i < It − i < 0 e quindi il tasso di rivalutazione è nullo
βIt − i
ρt = max , 0 = 0 ,
1 + i
l’utile retrocesso è nullo
∆ retr
t
= tVx ρt = 0
e l’utile trattenuto è negativo, coincide con il surplus ed è, in valore assoluto, l’entità
dell’integrazione che l’assicuratore deve operare per coprire la riserva in t:
∆ tratt
t
18 Gli operatori max e min godono delle proprietà:
= ∆t = tVx
It − i
1 + i
< 0 .
max(−a , −b) = − min(a , b) , per ogni coppia di numeri reali a e b;
min(−a , −b) = − max(a , b) , per ogni coppia di numeri reali a e b;
max(a , b) + c = max(a + c , b + c) , per ogni terna di numeri reali a, b e c;
min(a , b) + c = min(a + c , b + c) , per ogni terna di numeri reali a, b e c;
c max(a , b) = max(c a , c b) , per ogni terna di numeri reali a, b e c, con c ≥ 0;
c min(a , b) = min(c a , c b) , per ogni terna di numeri reali a, b e c, con c ≥ 0.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 41