Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Teorema A.1.6 (Formula di Black e Scholes). Si consideri un mercato perfetto, con un titolo
di valore St che segue un moto Browniano geometrico con coefficiente di drift µ e volatilità σ
e che non stacca dividendi né cedole. Si assuma che il segmento obbligazionario del mercato
sia in condizioni di certezza e che esprima una legge esponenziale di equivalenza finanziaria,
con intensità istantanea di interesse r. Il valore di mercato in t < T dell’opzione finanziaria
europea di tipo call, con sottostante St, prezzo di esercizio K e scadenza T > t è
V (t, CT ) = St N(d1) − K e −r(T −t) N(d2) ,
dove N è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard e
d1 =
log St
K +
d2 = d1 − σ √ T − t .
r + 1
2σ2 (T − t)
σ √ T − t
Il valore di mercato in t < T dell’opzione put europea, con stesso sottostante, prezzo di
esercizio e scadenza, è
V (t, PT ) = K e −r(T −t) N(−d2) − St N(−d1) .
Si consideri ora al tempo t un contratto che, al tempo T > t paga il valore del sottostante
ST con il minimo di K, cioè il payoff
XT = max(ST , K) .
Applicando le proprietà dell’operatore max, se ne può attuare la scomposizione put
XT = ST + max(K − ST , 0) = ST + PT ,
che lo esprime come un portafoglio composto dal sottostante e da una opzione put che protegge
il minimo garantito, o la scomposizione call
XT = K + max(ST − K , 0) ,
che lo propone come un portafoglio composto da un titolo a cedola nulla che paga l’importo
certo K più una opzione call che paga l’eventuale maggior valore del sottostante rispetto al
minimo garantito.
Corollario A.1.7. Nelle ipotesi del teorema A.1.6, si ha che
V (0, XT ) = St N(d1) + K e −r(T −t) N(−d2) .
Dimostrazione. Utilizzando la scomposizione put del payoff, possiamo valutare il contratto
per linearità. Per l’assenza di arbitraggio si ha infatti che
V (0, ST ) = St ,
mentre la formula di Black e Scholes fornisce il valore della componente put
Quindi
V (t, PT ) = K e −r(T −t) N(−d2) − St N(−d1) .
V (t, XT ) = V (0, ST ) + V (t, PT )
= St + K e −r(T −t) N(−d2) − St N(−d1)
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, appendice (v. 26/12/2005) pag. 57
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