Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Per affrontare il problema in modo metodologicamente più corretto, si consideri la prestazione
rivalutabile Yt = Y0 Φ(0, t) 1A, pagabile in t nel caso si verifichi l’evento A (vita
dell’assicurato in t o sua morte in (t − 1, t]). Se si accetta, come al solito, l’indipendenza fra
gli eventi legati alla vita dell’assicurato e gli eventi dei mercati finanziari, che determinano i
rendimenti di gestione e quindi Φ(0, t), il valore della prestazione può essere scomposto per
linearità:
V (0, Yt) = Y0 V 0, Φ(0, t) prob II (A) ,
dove prob II è la probabilità del II ordine, opportunamente fissata. Il calcolo del valore della
prestazione si riduce quindi al calcolo del valore del fattore di rivalutazione. Poiché si tratta
di una grandezza che dipende unicamente da grandezze di mercato, è metodologicamente corretto
valutarla come se fosse il payoff di un contratto puramente finanziario, “dimenticando”
il contratto assicurativo da cui proviene. Questa logica di valutazione fornisce quello che va
sotto il nome di valore mark-to-market (valore di mercato) o anche riserva stocastica o fair
value della prestazione.
Il calcolo del valore di mercato del fattore di rivalutazione deve essere effetuato tenendo
conto delle caratteristiche della gestione separata. Per la presenza delle opzioni implicite è, sia
in teoria che in pratica, analogo al calcolo del valore di un contratto derivato “complesso”.
L’unico caso in cui il procedimento di calcolo è semplice è quello degenere di prestazione
(o premio) non rivalutabile. Se infatti la prestazione pagabile in t è non rivalutabile, si ha
Φ(0, t) = 1 e quindi V 0, Φ(0, t) è il valore mercato di un titolo a cedola nulla unitario con
scadenza in t, cioè il fattore di sconto in vigore sul mercato alla data di valutazioni per la
scadenza t. Un caso un po’ meno banale è proposto nell’appendice A.2.
Se si calcola il valore di mercato di tutte le prestazioni, si ottiene la riserva stocastica
prestazioni
V (0, Y ) =
V (0, Yt) ,
t>0
che naturalmente può essere scomposta nella riserva stocastica prestazioni vita e prestazioni
morte. Allo stesso modo si calcola la riserva stocastica premi
V (0, X) =
V (0, Xt) ,
t>0
trascurando il premio pagabile alla stipula, considerato già pagato. La riserva stocastica si
ottiene come al solito per differenza.
Il confronto con la riserva di bilancio
V (0, Y − X) = V (0, Y ) − V (0, X) .
0V +
x − V (0, Y − X)
esprime la misura mark-to-market del valore degli utili della polizza, il valore intrinseco
stocastico. La riserva di bilancio è infatti il valore degli attivi in mano all’assicuratore a
copertura della polizza, mentre la riserva stocastica misura il valore effettivo del contratto,
“immerso” nel mercato che ne determina la rivalutazione. La differenza esprime (in senso
algebrico) la misura della sovracopertura di valore ed è il valore al tempo zero degli utili (in
senso algebrico) che l’assicuratore potrà “staccare” dal contratto durante la sua vita.
Il valore di mercato delle opzioni implicite nella rivalutazione può essere evidenziato utilizzando
le scomposizioni del tasso di rivalutazione viste nel paragrafo 6.3, che inducono analoghe
scomposizioni delfattore di rivalutazione. La scomposizione put del fattore di rivalutazione è
Φ(0, t) = Φ base (0, t) + Φ put (0, t) ,
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 54