Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Esempio 6.2.12. In una polizza mista a premio annuo rivalutabile, con capitale assicurato
rivalutabile, durata n anni, età dell’assicurato alla stipula x, sia il capitale assicurato che il
premio annuo rivalutano in modo pieno. Se i livelli iniziali del capitale assicurato e del premio
annuo puro sono rispettivamente C0 e P0, la regola contrattuale è
In forma chiusa si ottiene che
t
Ct = C0
k=1
Ct = Ct−1(1 + ρt) ,
Pt = Pt−1(1 + ρt) .
(1 + ρk) , Pt = P0
t
(1 + ρk) .
La regola di rivalutazione è metodologicamente corretta. Infatti l’utile da retrocedere al tempo
t è
∆ retr
t
e la riserva dopo la rivalutazione risulta
xV riv
t
k=1
= tVx ρt = (Ct−1 n−tux+t − Pt−1 n−täx+t) ρt
= Ct n−tux+t − Pt n−täx+t
= Ct−1(1 + ρt) n−tux+t − Pt−1(1 + ρt) n−täx+t
= (Ct−1 n−tux+t − Pt−1 n−täx+t) (1 + ρt)
= tVx(1 + ρt)
= tVx + ∆ retr
t
,
che mostra come la rivalutazione piena del capitale assicurato e del premio corrisponda
all’attribuzione alla riserva della polizza dell’utile da retrocedere.
Nella cartella Excel lab6.xls sono proposti esempi numerici di polizze con prestazioni e
premi rivalutabili.
6.3 Le opzioni implicite nella rivalutazione
La condizione che l’assicurato partecipi all’utile ma non al disutile, che viene implementata
aggiungendo nella (199) un floor a zero per il tasso di rivalutazione, conferisce alla regola di
rivalutazione una componente opzionale. Usando le proprietà dell’operatore max, possiamo
infatti scomporre il tasso di rivalutazione per l’anno t in due componenti:
ρt = ρ base
t
+ ρ put
t . (209)
La prima, ρbase t , è il tasso di rivalutazione base; è il tasso di rivalutazione privato del floor:
La seconda, ρ put
t , è la differenza
ρ put
t
= ρt − ρ base
t
ρ base
t
= βIt − i
1 + i
. (210)
βIt − i
= max , 0 −
1 + i
βIt
− i i − βIt
= max , 0
1 + i 1 + i
. (211)
La scomposizione (209) è la scomposizione put del tasso di rivalutazione; lo esprime come
somma della componente base con la componente put, che è un’opzione che protegge il minimo
garantito nullo. La scomposizione put mostra come la rivalutazione consista nel retrocedere
< 0, riportando il
ρ base
t
più un’opzione put che protegge l’assicurato e scatta quando ρ base
t
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 49