Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Nella pratica bancassicurativa le polizze a premio unico ricorrente sono più diffuse di
quelle a premio annuo, perché sono più semplici da spiegare e da promuovere ai clienti degli
sportelli bancari. Spesso vengono commercializzate senza penali di interruzione pagamento
premi né di riscatto e vengono presentate al cliente come un’alternativa all’investimento in
un fondo comune.
3.3.4 La controassicurazione.
La controassicurazione è una tipologia di prestazione caso morte che è collegata ai premi che
l’assicurato versa. È abbinata tipicamente a polizze di capitale differito o di rendita differita e
prevede che, in caso di decesso dell’assicurato durante il periodo di differimento, l’assicuratore
restituisca i premi (compreso il caricamento) versatigli fino a quella data.
Polizze a premio unico con controassicurazione. In una polizza a premio unico la
controassicurazione coincide con la prestazione temporanea caso morte, con capitale assicurato
il premio unico di tariffa T . Se Y v è il flusso delle prestazioni previste per il caso vita,
n è la durata della copertura caso morte e h il tasso di caricamento totale, il premio unico
puro U e il premio unico di tariffa T soddisfano il sistema
⎧
⎪⎨ U = V (0, Y
⎪⎩
v ) + T nAx
T = U
(126)
1 − h
che ha per soluzione
U = V (0, Y v )(1 − h)
1 − h − nAx
, (127)
T = V (0, Y v )
1 − h − nAx
. (128)
Esempio 3.3.6. Una polizza di capitale differito con controassicurazione a premio unico, con
capitale assicurato C e differimento n coincide con una polizza mista di durata n anni, con
capitale assicurato caso vita C v = C e caso morte C m = T . Si ha quindi
U = C nEx(1 − h)
1 − h − nAx
, (129)
T =
C nEx
1 − h − nAx
. (130)
Esempio 3.3.7. Una polizza di rendita differita posticipata con controassicurazione a premio
unico, rata della rendita R e differimento n è un portafoglio composto da una rendita differita
e da una temporanea caso morte con capitale assicurato C m = T . Il premio unico puro e il
premio unico di tariffa sono quindi
U = R n|ax(1 − h)
1 − h − nAx
, (131)
T =
R n|ax
1 − h − nAx
. (132)
Polizze a premio annuo con controassicurazione. In una polizza premio annuo la controassicurazione
è una prestazione temporanea caso morte con capitale assicurato crescente
in progressione artimetica. Se infatti Π è il premio annuo di tariffa, la prestazione per il
caso morte nel primo anno è Cm 1 = Π, nel secondo è Cm 2 = 2Π e così via. Consideriamo per
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 22