Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

= St[1 − N(−d1)] + K e −r(T −t) N(−d2) .
Ricordando che N è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria normale standard,
cioè che
N(x) = prob(ε < x) ,
dove ε ∼ N(0, 1), si ha che
1 − N(−d1) = 1 − prob(ε < −d1) = prob(ε ≥ −d1) = prob(−ε ≤ d1) .
Per le proprietà della distribuzione normale standard risulta che
e si è dimostrata la tesi. 23
prob(−ε ≤ d1) = prob(ε < d1) = N(d1)
A.2 Un esempio di valutazione mark to market di polizze rivalutabili
Si consideri una polizza vita rivalutabile con rivalutazione piena del capitale assicurato. La
prestazione pagabile al tempo t è quindi del tipo
dove Y0 è il livello iniziale della prestazione,
Yt = Y0 Φ(0, t) 1A ,
Φ(0, t) =
t
(1 + ρt)
k=1
e A è l’evento il cui verificarsi in t determina il pagamento della prestazione (vita in t o morte
dell’assicurato in (t − 1, t]). Il valore di mercato della prestazione, accettando come al solito
l’indipendenza degli eventi demografici da quelli dei mercati finanziari è
V (0, Yt) = Y0 V 0, Φ(0, t) prob II (A) ,
essendo prob II (A) la probabilità dell’evento A, calcolata secondo la probabilità del II ordine
condivisa nel mercato, che assumeremo nota. L’unico problema è pertanto quello di determinare
il valore del fattore di valutazione puramente finanziario V 0, Φ(0, t) . A tale fine
assumeremo che:
• il valore degli attivi St della gestione separata segua un processo lognormale, con
volatilità σ e livello iniziale S0;
• il mercato obbligazionario sia in condizioni di certezza e che esprima una legge esponenziale
di equivalenza finanziaria, con intensità istantanea di interesse r;
• il rendimento di gestione nell’anno [k − 1, k] sia espresso da
Ik = Sk − Sk−1
Sk
23 La dimostrazione poteva naturalmente essere condotta anche a partire dalla scomposizione call:
V (0, XT ) = V (0, K) + V (t, CT ) = K e −r(T −t) + St N(d1) − K e −r(T −t) N(d2)
= St N(d1) + K e −r(T −t) [1 − N(d2)] = St N(d1) + K e −r(T −t) N(−d2) .
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, appendice (v. 26/12/2005) pag. 58
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