Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Appendici 22
A.1 Richiami sulla formula di Black e Scholes
Si richiama brevemente la formula di Black e Scholes, che verrà usata nella successiva appendice
A.2, premettendo alcune definizioni e risultati sul moto Browniano geometrico.
A.1.1 Il moto Browniano geometrico
Definizione A.1.1. Un moto Browniano standard, detto anche processo di Wiener, è un
processo stocastico Zt, definito per t ≥ 0, con Z0 = 0, che soddifsa le seguenti proprietà:
1. per ogni t ed T , con 0 ≤ t < T , l’incremento ZT − Zt è distribuito normalmente, con
media zero e varianza T − t, cioè ZT − Zt ∼ N(0, T − t);
2. per ogni coppia [t1, T1] e [t2, T2] di intervalli temporali non sovrapposti, cioè tali che
0 ≤ t1 < T1 ≤ t2 < T2, gli incrementi ZT1 − Zt1 e ZT2 − Zt2 sono variabili aleatorie
indipendenti;
3. ogni traiettoria è continua.
Definizione A.1.2. Un moto Browniano geometrico è un processo stocastico St, definito per
t ≥ 0 da
1
St = S0 e (µ− 2 σ2 )t+σZt ,
dove Zt è un moto Browniano standard e S0 > 0, µ (coefficiente di drift) e σ > 0 (volatilità)
sono costanti.
Osservazione A.1.3. Il moto Browniano geometrico St è un processo positivo ed è soluzione
dell’equazione differenziale stocastica
dove Zt è un moto Browniano standard.
dSt = St µ dt + St σ dZt ,
Osservazione A.1.4. Il moto Browniano geometrico St ha distribuzione di probabilità condizionata
lognormale, cioè per ogni t e T , con 0 ≤ t ≤ T si ha
log ST
= µ −
St
1
2σ2
(T − t) + σ (ZT − Zt) ∼ N µ − 1
2σ2 (T − t) , σ 2
(T − t)
e risulta quindi
Et log ST
= µ −
St
1
2σ2 (T − t) , Et (ST ) = St e µ(T −t) ,
vart log ST
= σ
St
2
2
(T − t) , vart (ST ) = [Et (ST )] e σ2
(T −t)
− 1
A.1.2 La formula di Black e Scholes
Definizione A.1.5. Una opzione finanziaria call europea con sottostante St, prezzo di esercizio
K e scadenza T è un contratto che alla data T prevede il pagamento
CT = max (ST − K , 0) .
Una opzione finanziaria put europea con sottostante St, prezzo di esercizio K e scadenza T
è un contratto che alla data T prevede il pagamento
PT = max (K − ST , 0) .
22 Il contenuto delle appendici è da considerarsi “facoltativo” (ma non “ininfluente”!) ai fini dell’esame.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, appendice (v. 26/12/2005) pag. 56
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