Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

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tasso di rivalutazione al livello minimo garantito ρ gar t essere scritta nella forma ρ put t = max ρ gar t − βIt − i , 0 1 + i che è in un certo senso ridondante (perchè ρ gar t = 0. La componente put può anche , = 0), ma la rende più “riconoscibile” come opzione put. Un altro modo interessante di vedere il fenomeno è la scomposizione call del tasso di rivalutazione: con ρ call t = ρt − ρ gar t ρt = ρ gar t + ρcall t , (212) βIt − i = max − ρgar t , 0 1 + i , (213) che mostra come il tasso di rivalutazione possa essere visto come il suo livello minimo garantito più un’opzione call che retrocede l’eventuale sovrarivalutazione oltre quella minima garantita. Osservazione 6.3.1. Si noti che il tasso di rivalutazione minimo garantito ρ gar t = 0 corrisponde ad un minimo per il rendimento di gestione di i. Come visto nel paragrafo 6.2.1, infatti, l’assicuratore si impegna contrattualmente a rivalutare gli attivi di almeno il tasso tecnico i, che rappresenta quindi il rendimento minimo garantito del contratto. Il livello i/β ≥ i è invece il livello del rendimento di gestione, al di sotto del quale l’assicuratore non riesce a trattenere la frazione 1 − β del rendimento; è quindi un obiettivo “di secondo livello” per la gestione, essendo il tasso tecnico quello di “primo livello”. Tralasciando il caso di retrocessione della rivalutazione sotto forma di cedole, nei casi più frequenti la regola di rivalutazione delle prestazioni è di tipo ricorrente. La componente opzionale della rivalutazione (put o call, a seconda del punto di vista) si applica ai livelli delle prestazioni risultati dalle rivalutazioni degli anni precedenti, nei quali le corrispondenti componenti opzionali potrebbero essere a loro volta scattate. Le componenti opzionali della rivalutazione di ogni anno vanno quindi a comporsi con quelle degli anni precedenti; sono pertanto opzioni cliquet (o ratchet), nelle quali la rivalutazione di ogni anno consolida. In particolare, non si possono compensare anni “cattivi”, con rendimento di gestione insufficiente, con anni “buoni”. Esempio 6.3.1. Si consideri il caso di una polizza con β = 80%, i = 4% e durata n = 2 anni. Si consideri il caso di I1 = 8% e I2 = 3%. Come visto nell’analisi dell’esempio 6.2.1, nel primo anno il rendimento di gestione è ottimale: 80% × 8% − 4% ρ1 = max , 0 = 1 + 4% 2.4% ≈ 2.31% . 1.04 Dal punto di vista della scomposizione put si ha pertanto ρ base 1 = ρ1 ≈ 2.31% , e ρ put 1 = ρ1 − ρ base 1 = 0 . La l’opzione put protettiva non scatta (non c’è nulla da proteggere) e la componente base coincide con il tasso di rivalutazione. Dal punto di vista della scomposizione call, risulta ρ gar 1 = 0 , e ρcall 1 = ρ1 − ρ gar 1 = ρ1 ≈ 2.31% . La componente call coincide con il tasso di rivalutazione, che è tutto sovrarivalutazione rispetto al minimo ρ gar 1 = 0. Nel secondo anno la situazione è invece pessima: 80% × 3% − 4% ρ2 = max , 0 = 0, 1 + 4% c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 50
l’utile retrocesso è nullo e, essendo I2 < i, l’utile trattenuto è negativo: l’assicuratore deve integrare la riserva con il capitale proprio. Dal punto di vista della scomposizione put si ha ρ base 2 = 80% × 3% − 4% 1 + 4% = − 1.6% 1.04 ≈ −1.54% , e ρput 2 = ρ2 − ρ base 2 = 1.6% 1.04 ≈ 1.54% . Senza protezione la rivalutazione sarebbe stata negativa, ma la put protettiva integra la rivalutazione al livello minimo garantito. La scomposizione call risulta ρ gar 2 = 0 , e ρcall 2 = ρ2 − ρ gar 2 = ρ2 = 0 . Poiché I2 è risultato insufficiente, non vi è sovrarivalutazione rispetto al minimo (anzi, c’è sottorivalutazione, compensata però dalla put protettiva). Si osservi che, in questo esempio, l’assicuratore ha subito una perdita il secondo anno, nonostante il primo anno il rendimento della gestione separata sia risultato più che sufficiente. Avendo però retrocesso la sovrarivalutazione all’assicurato, non ha potuto utilizzarla per compensare il deficit del secondo anno. L’esempio 6.3.1 mostra come le opzioni di minimo garantito implicite nel meccanismo di rivalutazione, rappresentino un rischio finanziario non trascurabile per l’assicuratore. Nella pratica, le compagnie italiane “storiche” hanno ancora in essere molte polizze con rendimenti minimi garantiti al 4% o più. Queste polizze sono state vendute in anni in cui i rendimenti del mercato obbligazionario erano sufficientemente alti, ma pongono grossi problemi in questo periodo, in cui realizzare il 4% all’anno con una gestione prevalentemente obbligazionaria è molto difficile, se non impossibile. Proprio per limitare il rischio finanziario delle opzioni implicite le compagnie italiane stanno sempre più orientandosi alla commercializzione di polizze con rendimento minimo a scadenza, dove il meccanismo di rivalutazione viene modificato in modo da consentire la compensazione, almeno parziale, fra anni “buoni” e anni “cattivi”. L’idea, che non svilupperemo in questa sede, è quella di rimuovere il minimo dalla rivalutazione annuale, salvo poi effettuare un controllo al momento del pagamento della prestazione, per integrarla al minimo se necessario. Effettuando il controllo solo a scadenza, sulla rivalutazione globale, e non anno per anno, si ha la possibilità di compensazione tra anni diversi. 6.4 La valutazione delle polizze rivalutabili 6.4.1 I fattori di rivalutazione Si consideri una polizza generica, stipulata al tempo zero da un assicurato di età x, con prestazioni vita e morte rivalutabili e premi, evenutalmente anch’essi rivalutabili. Sia Y = Y v + Y m il vettore delle prestazioni, scomposte in caso vita e caso morte, e X il vettore dei premi. Senza appesantire troppo le notazioni, le prestazioni vita e morte pagabili al tempo t possono essere scritte nella forma dove Y v 0 Y v t = Y v 0 Φ Y,v (0, t) 1 {Tx>t} , Y m t = Y m 0 Φ Y,m (0, t) 1 {t−1
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