Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Cambiando i segni ad ambo i membri e moltiplicando tutto per e r(c+P )(1+i) si ottiene
Passando ai logaritmi si ha infine
p e r d + (1 − p) = e r P (1+i) .
P = 1
r log
p e r d
+ (1 − p) v . (16)
Poichè la funzione inversa della funzione di utilità esponenziale è
il premio puro è
u −1 (x) = − 1
log(−x) ,
r
P = u −1 (E0[u(−D)]) , (17)
cioè l’equivalente certo di −D.
Si osservi che, in questo caso, il premio puro non dipende dal capitale proprio dell’assicuratore,
ma solo dal danno e dal tasso di interesse non rischioso. Questo fatto, così come
l’espressione (17), dipende da una proprietà specifica della funzione di utitlità esponenziale.
Se si considera il caso c = 1000, i = 5%, r = 1/1000, d = 100, p = 5%, il premio equo
risulta
mentre il premio puro è
p d v =
0.05 × 100
1.05
= 4.761905 ,
P = 1000 log
0.05 × e 100
1000 + 0.95
= 4.995017 .
1.05
Se invece si considera il caso di un danno 5 volte più elevato, cioè se si pone d = 500, il premio
equo aumenta per un fattore 5
mentre il premio puro diventa
p d v =
0.05 × 500
1.05
= 23.809524 ,
P = 1000 log
0.05 × e 500
1000 + 0.95
= 30.401067 ,
1.05
aumentando quindi per un fattore di oltre 6.
Esempio 1.2.2. Si consideri la situazione dell’esempio 1.2.1, ma si assuma che l’assicuratore
abbia funzione di utilità esponenziale
La (4) diventa
u(x) = log(x) .
p log (c + P )(1 + i) − d + (1 − p) log (c + P )(1 + i) = log c(1 + i) .
e può essere risolta rispetto a P per via numerica. Se si considera ancora il caso di c = 1000,
i = 5%, d = 100, p = 5% il premio puro che si ottiene è P = 4.990456, mentre nel caso di
danno 5 volte maggiore si ha P = 31.448697. Si noti che se il capitale prorpio fosse c = 2000,
il premio puro dei due contratti sarebbe rispettivamente P = 4.872791 e P = 26.958682.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 3