Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

dove
d1 =
log S0
K
+ r + 1
2 σ2
σ
= r − log
1 + i
β
σ
+ 1
2 σ2
Sostituendo nella (218) l’espressione (219) si ottiene l’asserto.
, d2 = d1 − σ .
Osservazione A.2.3. Poiché il membro destro della (215) non dipende da S0, che riassume
le condizioni di mercato alla data zero di valutazione, il risultato ottenuto nel lemma A.2.2
non dipende separatamente dalla data di valutazione zero e dalla scadenza 1, ma solo dalla
durata unitaria. Se si pone pertanto
u = 1 −r
(1 − β) e + β N(d1) + (i + β) e
1 + i
−r N(−d2) ,
si può estendere il risultato del lemma:
V t − 1, Φ(t − 1, t) = u per ogni t > 0. (220)
Osservazione A.2.4. Il fattore unitario di valutazione u può essere scritto nella forma equivalente
Infatti N(−d2) = 1 − N(d2) e quindi
u = 1 −r
(1 + i) e + β N(d1) − (i + β) e
1 + i
−r N(d2) .
(1 − β) e −r + (i + β) e −r N(−d2) = (1 − β) e −r + (i + β) e −r − (i + β) e −r N(d2)
Teorema A.2.5. Per ogni t > 0 intero si ha
= (1 + i) e −r − (i + β) e −r N(d2) .
V 0, Φ(0, t) = u t , (221)
Dimostrazione. La dimostrazione procede per induzione su t.
Per t = 1, base dell’induzione, l’asserto è stato dimostrato nel lemma A.2.2.
Assunto quindi vero il risultato per t − 1:
V 0, Φ(0, t − 1) = u t−1 ,
osserviamo anzitutto che, per l’assenza di arbitraggi non rischiosi 25 , risulta
Poiché
Φ(0, t) =
si ottiene quindi che
V 0, Φ(0, t) = V 0, V t − 1, Φ(0, t) .
t
t−1
(1 + ρk) = (1 + ρk) (1 + ρt) = Φ(0, t − 1) Φ(t − 1, t) ,
k=1
k=1
V 0, Φ(0, t) = V 0, V t − 1, Φ(0, t − 1) Φ(t − 1, t)
25 Se si considera al tempo t un contratto che al tempo s > t paga l’importo Xs, per l’ipotesi di assenza di
arbitraggi non rischiosi è sempre vero che per ogni data intermedia T (t ≤ T ≤ S) il contratto che paga in T
l’importo YT = V (T, Xs) ha prezzo si mercato in t
V (t, YT ) = V t, V (T, Xs) = V (t, Xs) .
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, appendice (v. 26/12/2005) pag. 60