Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

5 Il valore intrinseco
5.1 Introduzione
La polizza è equa per costruzione, ma rispetto alla base tecnica del I ordine, che è aggravata in
modo prudenziale rispetto alle aspettative dell’assicuratore. Egli si aspetta quindi che, nella
realtà, si verifichi una rottura dell’equilibrio a suo favore, cioè che il contratto generi utili.
In questa sezione si assume fissata una base tecnica del II ordine, che riflette le aspettative
dell’assicuratore. Le aspettative e le probabilità calcolate secondo questa base verranno
indicate con l’apice “II”. Quando sarà opportuno evidenziare la differenza fra aspettative e
probabilità del I e del secondo ordine, anche quelle del I ordine potranno avere l’apice “I”.
5.2 L’utile
Si consideri al tempo t una polizza generica in essere, stiupulata al tempo zero da un assicurato
di età x; in particolare si assume che l’assicurato sia in vita al tempo t, cioè che Tx > t. Come
si è discusso nella sezione precedente, al tempo t, dopo avere incassato l’eventuale premio e
pagata l’eventuale prestazione anticipata caso vita, l’assicuratore investe la riserva di bilancio
tV +
x della polizza. Il rendimento It+1 degli attivi a copertura nel periodo [t, t+1] è in generale
una variabile aleatoria al tempo t e diverrà nota al tempo t + 1. Alla fine dell’anno, al tempo
t + 1, l’assicuratore
• ha un portafoglio di attivi con valore tV +
x (1 + It+1),
• deve pagare la prestazione caso morte C m t+1 1 {Tx≤t+1},
• deve pagare la prestazione caso vita posticipata C vp
t+1 1 {Tx>t+1},
• deve ricostituire la riserva matematica tVx 1 {Tx>t+1}.
Si noti che tutte le grandezze che compaiono nell’elenco sono alteatorie al tempo t e
diventeranno note al tempo t + 1. L’aleatorietà del valore degli attivi è di tipo unicamente
finanziario, mentre l’aleatorietà delle altre grandezze è legata solo alla durata della vita
dell’assicurato. 13
Al tempo t+1, dopo avere pagato le prestazioni e avere ricostituito la riserva, l’assicuratore
si troverà nella posizione finanziaria netta
Ut+1 = tV +
x (1 + It+1) − C m t+1 1 {Tx≤t+1} − C vp
t+1 1 {Tx>t+1} − t+1Vx 1 {Tx>t+1} . (167)
Se Ut+1 dovesse rivelarsi postivo, sarà l’importo “avanzato” che l’assicuratore potrà “staccare”;
se invece dovesse essere Ut+1 < 0, gli attivi a copertura della polizza non saranno stati
sufficienti a pagare le prestazioni dell’anno e a ricostituire la riserva: l’assicuratore dovrà
quindi integrare con capitale proprio per onorare gli impegni nei confronti dell’assicurato.
La grandezza Ut+1 è quindi l’utile (in senso algebrico: utile effettivo se positivo, disutile se
negativo) prodotto dalla polizza nell’anno [t, t + 1] e temporalmente collocato al tempo t.
5.3 La scomposizione dell’utile: la formula di Homans
L’equazione di Fouret (145) può essere riscritta nella forma
0 = tV +
x (1 + i) − C m t+1 qx+t − C vp
t+1 px+t − t+1Vx px+t . (168)
13 Si osservi che anche la riserva che l’assicuratore dovrà effetivamente ricostituire al tempo t + 1 è aleatoria,
perché se l’assicurato dovesse decedere in [t, t + 1] il contratto si risolverà con la prestazione caso morte e
l’assicuratore non dovrà ricostituire alcuna riserva.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 5 (v. 13/12/2005) pag. 33