Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

fra il livello (aleatorio) della prestazione che verrà effettivamente liquidata nel caso si verifichi
l’evento corrispondente e il livello iniziale della stessa, noto alla stipula del contratto.
Analogamente il premio puro pagabile in t può essere scritto nella forma
Xt = X0 Φ X (0, t) 1 {Tx>t} ,
con X0 il suo livello iniziale e Φ X (0, t) il fattore di rivalutazione del premio fra zero e t.
Esempio 6.4.1. In una polizza di capitale differito di n anni a premio unico, con capitale
assicurato iniziale C0 che rivaluta in modo pieno, la prestazione caso morte è sempre nulla;
per t = n, anche la prestazione caso vita è nulla, mentre si ha
Per t = 0 il premio è nullo, mentre
Y v n
n = C0
k=1
(1 + ρk) 1 {Tx>n} .
X0 = U ,
essendo U il premio unico puro del contratto. Tralasciando i casi di prestazione nulla, si ha
quindi che
e
Y v
0 = C0 ,
Φ Y,v n
(0, n) = (1 + ρk) ,
k=1
X0 = U ,
Φ X (0, 0) = 1 .
Esempio 6.4.2. In una polizza mista a premio annuo costante P , con capitale assicurato
iniziale C0 che rivaluta secondo la regola degli ennesimi, le prestazioni caso morte e caso vita
partono dallo stesso livello Y0 = C0 e rivalutano allo stesso modo. Possiamo alleggerire un
po’ la notazione, omettendo l’apice “v” o “m” nel livello iniziale e nel fattore di rivalutazione,
che coincidono nei due casi:
Y m
t = Y0 Φ Y (0, t) 1 {t−1n} .
Il fattore di rivalutazione è
Φ Y (0, t) = Ct
C0
essendo Ct calcolabile in modo ricorrente secondo la (208). Si verifica facilmente che anche
ΦY (0, t) può essere calcolato in modo ricorrente, come soluzione21 di
⎧
⎨ Φ Y (0, 0) = 1 ,
⎩ Φ Y (0, t) = Φ Y (0, t − 1) (1 + ρt) −
,
n − t
n ρt ,
(214)
21 Si può dimostrare (C. Pacati, Valutazione di portafogli di polizza vita con rivalutazione agli ennesimi,
Gruppo di ricerca su “Modelli per la finanza matematica”, Working paper 38(aprile 2000)) che la soluzione
in forma chiusa dell’equazione ricorrente (214) è
Φ Y (0, t) =
t
t−1
(1 + ρk) −
k=1
k=0
n − t + k
ρt−k
n
t
(1 + ρj) .
j=t−k+1
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 52