Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Per quanto riguarda i premi, si ha Xn = 0, mentre per 0 ≤ t < n risulta
Xt = P 1 {Tx>t}
e quindi si ha X0 = P e Φ X (0, t) = 1 per ogni t.
Esempio 6.4.3. Se modifichiamo l’esempio 6.4.2, prevedendo che premi e prestazioni siano
rivaluabili in modo pieno, tutte le grandezza hanno lo stesso fattore di rivalutazione piena
che, omettendo gli apici, risulta
6.4.2 La valutazione
Φ(0, t) =
t
(1 + ρk) .
k=1
Nelle basi tecniche del I ordine, l’ipotesi finanziaria comporta che il rendimento di gestione sia
noto, costante e che coincida con il tasso tecnico. Quindi, in una polizza rivalutabile, il tasso
di rivalutazione è sempre nullo: nell’ipotesi del I ordine la rivalutazione non ha mai luogo.
Per questo motivo nella tariffazione (calcolo del premio) e nella riservazione di una polizza
rivalutabile secondo la logica attuariale tradizionale si ignora la regola di rivalutazione e si
tratta la polizza come se fosse non rivalutabile.
Naturalmente l’ipotesi che It = i per ogni t è assolutamente irrealistica: se il tasso tecnico
è fissato in modo metodologicamente corretto, cioè prudenzialmente basso, il rendimento di
gestione dovrebbe anzi risultare tipicamente maggiore del tasso tecnico. Se ci fosse la certezza
che ciò accadrà in ogni anno, cioè che il rendimento di gestione risulti sempre sufficiente, il
metodo tradizionale di calcolo sarebbe tutto sommato legittimo: fornirebbe un’approssimazione
per eccesso – e quindi prudenziale – del valore degli impegni netti dell’assicuratore nei
confronti dell’assicurato. Nell’analisi delle regole di rivalutazione si è infatti visto che se il
surplus di rendimento di gestione rispetto al tasso tecnico è positivo, il salto di riserva dovuto
alla rivalutazione, cioè l’utile retrocesso, si finanzia con parte del sovrarendimento degli attivi.
L’ipotesi di rendimento di gestione sempre sufficiente è tuttavia troppo ottimistica, come
ben sanno le compagnie italiane che negli ultimi anni hanno visto crollare i rendimenti delle
loro gestioni separate per effetto del crollo dei rendimenti obbligazionari (e nel segmento
azionario le cose sono andate anche peggio). Il calcolo della riserva tradizionale, quindi, non
solo non è detto che sovrastimi il valore netto degli impegni, ma anzi, trascurando la possibilità
che l’assicuratore debba fare ricorso al capitale proprio per integrare le riserve, ne può
sottostimare il valore. Equivalentemente, assegna valore nullo all’opzione put protettiva, che
è presente nel contratto e che ha invece valore positivo.
Come visto nella sezione 5.4, nella valutazione RAD si abbandonano le basi tecniche del I
ordine e si usa il rendimento atteso di gestione per ogni anno futuro. La tecnica di valutazione
RAD si estende in maniera ovvia al caso delle polizze rivalutabili: i fattori di rivalutazione
possono essere calcolati sostituendo ai rendimenti di gestione aleatori le loro aspettative.
Anche la scomposizione dell’utile secondo la formula di Homans si estende immediatamente
al caso rivalutabile. Rimane tuttavia il punto debole della metodologia, costituito dalle scelte
dei rendimento attesi di gestione e del tasso RAD; questa debolezza è ancora più grave
quando si applica il metodo RAD in presenza di opzioni. Sostituendo infatti il rendimento di
gestione con la sua aspettativa, si valuta nell’ipotesi che l’opzione put protettiva scatti con
certezza (se il rendimento atteso è insufficiente) o che non scatti con certezza (se il rendimento
atteso è sufficiente). Quindi il valore RAD dell’opzione put protettiva risulta sovrastimato o,
più spesso, sottostimato. Questo fenomeno è ormai ben compreso nella pratica e, nonstante
il metodo RAD di calcolo del valore intrinseco sia uno standard di mercato, gli analisti
spesso chiedono di conoscere il valore delle opzioni implicite, calcolato con metodologia più
“robusta”, per sottrarlo dal valore intrinseco RAD.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 53