Bakalaura studiju programmas - Daugavpils Universitāte
Bakalaura studiju programmas - Daugavpils Universitāte
Bakalaura studiju programmas - Daugavpils Universitāte
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Kursa nosaukums Funkcionālanalīze<br />
Kursa kods Mate3005<br />
Zinātnes nozare Matemātika<br />
Kredītpunkti 3<br />
ECTS kredītpunkti 4.50<br />
Kopējais auditoriju stundu skaits 48<br />
Kursa izstrādātājs(-i)<br />
Dr. Matemātikas doktors, asoc.prof. Armands Gricāns<br />
Dr. Matemātikas doktors, asoc.prof. Vjačeslavs Starcevs<br />
Kursa anotācija<br />
Kurss ir paredzēts bakalaura <strong>studiju</strong> <strong>programmas</strong> “Matemātika” studentiem.<br />
Skalārais reizinājums. Norma. Metrika. Metriskas telpas topoloģija. Konverģence metriskā telpā. Pilnas<br />
metriskas telpas. Sakarīgas telpas. Kompaktas telpas. Metrisku telpu nepārtraukti attēlojumi.<br />
Saspiedējattēlojumu princips un tā lietojumi. Lineāri operatori normētā telpā. Furjē rindas Hilberta telpā.<br />
Kursa plāns<br />
32 lekcijas, 16 semināri<br />
1. Skalārais reizinājums. Norma. Metrika.<br />
Prehilberta telpa. Prehilberta telpu piemēri: , l2, C2[a;b]. Leņķis starp vektoriem prehilberta telpā. Normēta telpa.<br />
Normētu telpu piemēri: , l1, l¥, C1[a;b], C¥[a;b]. Inducētā norma prehilberta telpā. Metriska telpa. Metrisku<br />
telpu piemēri. Inducētā metrika normētā telpā.<br />
2. Metriskas telpas topoloģija.<br />
Metriskas telpas punkta apkārtne. Kopas iekšējie punkti, kontaktpunkti, izolētie un akumulācijas punkti, robežas<br />
un ārējie punkti. Kopas iekšiene, slēgums, atvasinātā kopa, robeža, āriene. Vaļējas un slēgtas kopas. Perfektas un<br />
blīvas sevī kopas. Visur blīvas un nekur neblīvas kopas.<br />
3. Konverģence metriskā telpā.<br />
Konverģentas virknes un to īpašības. Konverģence telpās , l2 un C¥[a,b] . Fundamentālvirknes un to īpašības.<br />
4. Pilnas metriskas telpas.<br />
Pilnas metriskas telpas jēdziens. Piemēri. Pilnas metriskas telpas pazīmes. Savelkošos ložu princips.<br />
5. Sakarīgas telpas un kopas.<br />
Sakarīgas telpas un kopas jēdziens. Sakarīgu kopu piemēri. Sakarīgu kopu uz skaitļu taisnes R klasifikācija.<br />
Telpas sakarīgās komponentes. Lineāri sakarīgas telpas un kopas jēdziens.<br />
6. Kompaktas telpas un kopas.<br />
Ierobežotas un pilnīgi ierobežotas kopas metriskā telpā. Kompaktas telpas jēdziens. Kompaktas telpas kritēriji.<br />
Kompaktas kopas un to īpašības. Kompaktas telpas vaļējs pārklājums. Kompaktas telpas Lebega kritērijs.<br />
Kompaktas kopas telpā .<br />
7. Metrisku telpu nepārtraukti attēlojumi.<br />
Nepārtraukta attēlojuma jēdziens. Skalārā reizinājuma, normas, metrikas nepārtrauktība. Nepārtraukta attēlojuma<br />
kritēriji. Nepārtrauktu attēlojumu īpašības. Homeomorfisms. Sakarīgu kopu nepārtraukti attēlojumi. Kompaktu<br />
kopu nepārtraukti attēlojumi. Attālums starp punktu un kopu. Attālums starp divām kopām. Vienmērīgi<br />
nepārtraukti attēlojumi un to īpašības. Nepārtraukta attēlojuma kompaktā kopā vienmērīgā nepārtrauktība<br />
(Kantora teorēma).<br />
8. Saspiedējattēlojumu princips un tā lietojumi.<br />
Attēlojuma nekustīgs punkts. Piemēri. Saspiedējattēlojuma jēdziens. Piemēri. Saspiedējattēlojumu princips<br />
(Banaha teorēma). Pakāpenisko tuvinājumu metode. Saspiedējattēlojumu principa lietojumi algebrisku<br />
vienādojumu tuvīnajā risināšanā diferenciālvienādojumu teorijā un lineāru vienādojumu sistēmu tuvīnajā<br />
risināšanā.<br />
9. Lineāri operatori.<br />
Lineāra operatora jēdziens. Piemēri. Lineāri nepārtraukti operatori un to īpašības. Lineāra nepārtraukta operatora<br />
norma. Lineāri nepārtraukti funkcionāļi.<br />
10. Furjē rindas prehilberta telpā.<br />
Rindas normētā telpā. Normētas telpas Šaudera bāze. Pilnas vektoru sistēmas normētā telpā. Ortogonālas vektoru<br />
sistēmas prehilberta telpā. Prehilberta telpas vektoram atbilstošā Furjē rinda un tās parciālsummas ekstremālā<br />
īpašība.
Change language