Matematisk kulturhistorie - Munin - Universitetet i Tromsø

1. En rett linje kan trekke fra et vilkårlig punkt til et vilkårlig annet punkt.
2. Når vi har ei rett linje er det mulig å utvide den i begge retninger.
3. Det er mulig å tegne en sirkel med vilkårlig sentrum og vilkårlig radius.
4. Alle rette vinkler er like store.
5. Dersom en rett linje skjærer to rette linjer og de innvendige vinklene på samme
side (av overskjæringslinja) er mindre enn to rette vinkler, så vil de to rette linjene
møtes om de forlenges ubegrenset til denne siden.
Euklids aksiomer er generelle sannheter som også kan brukes i andre sammenhenger
enn matematikk. Vi kan kalle dem for slutningsregler eller common sense. Her er de
fem i bok I :
1. Ting som er like den samme tingen er også like hverandre.
2. Hvis like legges til like, så er også summene like.
3. Hvis like trekkes fra like, så er også restene like.
4. Ting som faller sammen (dekker hverandre), er like.
5. Det hele er større enn delen.
Med bakgrunn i dette aksiomgrunnlaget utledet Euklid alle kjente resultater innen
geometrien på en systematisk og resonnerende måte. Fra punkter og linjer, til mangekanter,
sirkler og romlegemer. Den danske kunnskapsarkeologen Jens Høyrup har
karakterisert verket som skoledannende for den institusjonaliserte matematikkundervisning
(Høyrup 1979). Som tidligere nevnt, fungerte også verket som trendsetter for mye
av forskningen som senere kom innen matematikk og naturvitenskap. På 1800-tallet ble
det avklart at metoden med hell også kunne brukes innen andre områder av matematikken,
og de fleste fagområder fikk en formalisert aksiomatisk framstilling.
Metodens begrensninger ble først oppdaget på 1900-tallet da matematikeren Kurt Gödel
beviste at det i de aller fleste aksiomsystemer kan formuleres setninger som er sanne
uten at de kan utledes av aksiomene. Det vil altså finnes relevant kunnskap som ikke
fanges opp av aksiomsystemet, og som verken kan bevises eller motbevises innenfor
teorien. Alle aksiomsystemer vil dermed være ufullstendige. Dette kalles Gödels
ufullstendighetsteorem og regnes som en av de viktigste matematiske oppdagelser fra
forrige århundre.
Noen vil hevde at Euklid på mange måter også gjorde geometrien en bjørnetjeneste.
Hvordan kunne det skje at et av matematikkens mest spennende og visuelle emner
kunne få en så ensformig framstilling som i den klassiske geometri? På en måte koblet
Euklid faget mest til filosofi og gjorde det til et mønstereksempel på hvordan vi kan
begrunne sannheten. Resultatet har også vært at geometrien etter hvert har fått en
27