Matematisk kulturhistorie - Munin - Universitetet i Tromsø

hvor M er et måltall brukt til å angi tid. Kepler målte M som del av arealet av hele
sirkelen. M er proporsjonal med tiden som har løpt, og det er som funksjon av tiden vi
ønsker å finne posisjonen til planeten P. Så det viktige problemet er å finne β når M og
e er gitt. Denne transcendente likningen er kalt Keplers likning og har vist seg
grunnleggende i astronomien. Slike vanskelige likninger er det umulig å finne en enkel
løsningsformel for, og Kepler kunne bare løse den i enkelttilfeller ved en bruk av en
tilnærmingsmetode.
I Etipome, bok 5, del 2, kapittel 5 (Kepler 1995, side 158-159) gir han et numerisk
eksempel med tre steg i løsningsprosessen som vist i tabellen. Den såkalte eksentrisiteten
e er bestemt av arealet av trekanten ABF, som han tidligere sier han hadde utregnet
til å være 11910 buesekunder. Sannsynligvis hadde Kepler byttet om to siffer her, fordi
i det foregående eksemplet seks sider tidligere brukte han tallet 19110, et tall som
korresponderer til e=0,09265, det beste estimatet Kepler hadde for planeten Mars. Men
uansett, det nye tallet vil fungere like godt som et eksempel, og bestemmer e=0,05774.
60
Keplers likning: ßn = M - e sin ßn-1
Konstanter:
eksentrisitet e = 0,05774
tidsparameter M = 50° 9' 10" =0,87533 (i radianer)
Kepler: Datamaskin:
Grader Radianer Radianer Iterasjon #
44° 25' 0,77522 0,77522 ß0
46° 44' 0,81565 0,83492 ß1
47° 44' 6" 0,83313 0,83253 ß2
47° 42' 17" 0,83260 0,83262 ß3
Keplers numeriske løsning på likningen hans i Epitome, med tre iterasjoner. Som
sammenlikning er vist en datamaskiniterasjon med bruk av Excel basert på
βn = M – e sin βn-1
Keplers metode kan best beskrives som en enkel numerisk fiks-punkt metode, dvs. en
iterativ (gjentagende) algoritme som utvikler en konvergerende tallsekvens med
grenseverdi lik løsningen til det framlagte problem:
xn = f(xn-1)