Matematisk kulturhistorie - Munin - Universitetet i Tromsø

I motsetning til grekerne, sto Kepler for en matematisk empirisme. Kepler var talsmann
for at menneskets erkjennelse av den riktige matematiske sammenheng i universet skjer
gjennom de empiriske data. Sanne matematiske hypoteser må være verifiserbare i den
observerte verden. Her skiller Kepler seg sterkt fra den greske tenkning. Kepler talte
gjerne om å "lese naturens bok". "Hvor det er materie, der er det også geometri", sa han.
Keplers matematiske hovedverk er Stereometria (rommål, 1615). En kuriositet hører
med til forhistorien. På grunn av urolige tider i Praha, ga keiseren i 1612 Kepler
tillatelse til å flytte til den rolige byen Linz i Østerrike. Det året var det en uvanlig rik
vinhøst i landet, noe som ga støtet til Keplers mest betydningsfulle rent matematiske
arbeide. Kepler fant nemlig at vinhandlerne i Østerrike brukte bestemte vintønner og en
spesiell metode til å finne volumet av disse. De stakk bare en målestav på skrå ned i
tønna og leste av volumet på en skala (se figur). Kunne noe av dette rettferdiggjøres
matematisk?
Før Kepler tar fatt på tønnene, behandler han noen enklere volumer. Det legemet som
framkommer ved å rotere en sirkel om en linje BC i rommet (som ikke skjærer
sirkelen), kalles en ring eller torus. Se figuren over. I setning 18 behandler Kepler
volumet av en slik ring:
Setning.
Enhver ring med sirkulært eller elliptisk tverrsnitt, har samme volum
som en sylinder med høyde lik lengden av den sirkelbue som senteret
til den roterte figur beskriver, og med grunnflate lik tverrsnittet av
ringen.
Keplers bevis bygger på ideen om infinitesimaler. Hvis vi kutter ringen GCD opp i et
uendelig antall av infinitesimalt tynne skiver, vil hver av skivene bli tynnest, t1, mot
senteret A og tykkest, t2, lengst bort fra A. Gjennomsnittykkelsen t =(t1+ t2)/2 oppnås
midt på skiven. En skives volum kan altså skrives som G⋅ t, hvor G er arealet av snittet.
Volumet av hele ringen er dermed gitt ved G ⋅ L, hvor L er sirkelbuen som sentret i den
roterende figur beskriver.
Dette teoremet er ekvivalent med et spesialtilfelle av et klassisk teorem etter Pappus,
senere kalt Guldins regel.
71