Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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10 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTETeoricamente, o sistema⎡⎣ ɛ 0 1⎤ ⎡0 1 ɛ⎦ x = ⎣ b ⎤1b 2⎦ (1.1.2)0 1 1 b 3tem sempre solução para ɛ ≠ 0.Vamos escolher b = [1, 0, 1] T e resolver este último sistema por eliminação:subtraindo a segunda linha da terceira, obtemos:⎡⎤ ⎡ ⎤ɛ 0 1⎣0 1 ɛ0 0 1 − ɛ⎦ x =⎣ 1 0⎦ .1Ou seja, x 3 = 1/(1 − ɛ), x 2 = −ɛx 3 e x 1 = (1 − x 3 )/ɛ = 1/(1 − ɛ). Nolimite,limɛ→0 x 1 = 1.Esses são resultados exatos e teóricos, obtidos simbolicamente. Ao refazero mesmo exemplo numericamente, ca evidente que a teoria não descrevede maneira adequada a realidade de um computador digital.Vamos utilizar diversos valores de ɛ:#include #include void resolve(float epsilon){float x[4] ;x[3] = 1.0 /(1.0-epsilon) ;x[2] = -epsilon * x[3] ;x[1] = (1.0 - x[3]) / epsilon ;printf("x = [% 15.12e % 15.12e % 15.12e]\n", x[1],x[2],x[3]) ;}main(){Podemos agora olhar para os resultados:
1.2. ARREDONDAMENTO E CONDICIONAMENTO 11resolve(pow(2.0, -21)) ;resolve(pow(2.0, -22)) ;resolve(pow(2.0, -23)) ;resolve(pow(2.0, -24)) ;resolve(pow(2.0, -25)) ;resolve(pow(2.0, -26)) ;}gregorio@momentum:~/cnmac$ ./arredondax = [-1.000000000000e+00 -4.768373855768e-07x = [-1.000000000000e+00 -2.384186359450e-07x = [-1.000000000000e+00 -1.192093037616e-07x = [-2.000000000000e+00 -5.960465188082e-08x = [ 0.000000000000e+00 -2.980232238770e-08x = [ 0.000000000000e+00 -1.490116119385e-081.000000476837e+00]1.000000238419e+00]1.000000119209e+00]1.000000119209e+00]1.000000000000e+00]1.000000000000e+00]Quando ɛ é sucientemente pequeno, o resultado obtido para x 1 é zero !Isso se deve à maneira como os números reais são representados. Computadorestrabalham com grandezas aproximadas, representadas como númerosde ponto utuante. O formato padrão em uso nos computadores modernos(guras 1.1 e 1.2) prevê 23 bits de mantissa.O modelo de aritmética utilizado hoje em todos os computadores é opadrão IEEE754/854 [4, Cap. 2.3]. Este modelo constitui uma deniçãoaxiomática rigorosa da aritmética digital, embora permita diferentes implementações.As regras ou axiomas do padrão permitem provar teoremas sobrealgoritmos numéricos.Por outro lado, x 1 = 0 está longe da solução do sistema (1.1.2). Paraentender as implicações de se utilizar aritmética IEEE, é preciso entendernão apenas o efeito do arredondamento no algoritmo, mas ainda o conceitode condicionamento, que é independente do algoritmo.1.2 Arredondamento e condicionamentoUm estudo cuidadoso do algoritmo de eliminação Gaussiana sob a aritméticade ponto utuante [2, Seção 2.4.2] mostra que, se o computador produziruma solução x para o problema Ax = b, então x é a solução exata paraum problema aproximado,(A + δA) x = b .Além disso, prova-se que ‖δA‖ F ≤ 3nɛ‖L‖ F ‖U‖ F , onde A = P LU é afatoração PLU de A e ‖ · ‖ F denota a norma de Frobenius (Ver Apêndice,seção A.4).Subtraindo a equação Ax = b, obtemos:
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