Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

3.7. EXERCÍCIOS 49Exercício 3.2. O grafo perfeito K d de ordem d é o grafo com d vértices,conectados todos com todos. Quais são os autovalores de ∆ Kd ?Exercício 3.3. Seja T a matriz de transferência de um grafo orientado, eassuma que de todo vértice sai ao menos uma aresta. Mostre que o autovetorprincipal de T T T pode ser escolhido com coordenadas positivas.Dica: mostre que o ortante positivo é mapeado nele mesmo pela iteraçãox ↦→ T T T x.Exercício 3.4. Considere agora o grafo com d vértices 1 a d, onde j e j + 1estão conectados e d está conectado a 1. Calcule numericamente os autovaloresde seu Laplaciano.Exercício 3.5. Considere a seguinte variante para o modelo de Kleinman:substitua a matriz T, não pela matriz estocástica M mas pela matriz ˜Mobtida normalizando as colunas da matriz estocástica. Dessa maneira, interpretea recorrência p i+1 = ˜M T ˜Mpi como a versão discreta do processocontinuo∂∂t p(t) = ( ˜M T ˜M − I)p(t) .Mostre que essa variante daria peso igual para cada uma das páginas.Dica: interprete esse processo como a equação do calor em um certo grafo.Referências[1] Zoltán Gyöngi, Hector Garcia-Molina, and Jan Pedersen, Combating Web Spam withTrustRank, Proceedings of the International Conference on Very Large Data Bases30, 576. http://www.vldb.org/conf/2004/RS15P3.PDF.[2] Jon Michael Kleinberg, US Patent 6112202: Method and system for identifying authoritativeinformation resources in an environment with content-based links betweeninformation resources., 1997, 2000.[3] Lawrence Page, Sergey Brin, Rajeev Motwani, and Terry Winograd, The PageRankcitation ranking: Bringing order to the Web, Preprint, Stanford University, 1999.http://dbpubs.stanford.edu:8090/pub/1999-66.