Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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18 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTESe M e N são variedades e Φ : M → N, então denimos DΦ x : T x →T Φ(x) como a melhor aproximação linear de Φ (se existir). Dessa maneira,podemos fazer cálculo em variedades.Uma denição diferente de variedade é utilizada em geometria algébrica.Um fechado de Zariski é o conjunto dos zeros de uma coleção de polinômios(reais, complexos, etc...). Uma variedade algébrica é um fechado de Zariski,que não se escreve como união trivial de fechados de Zariski. A variedadedas matrizes A tais que det A = 0, por exemplo, é uma variedade algébrica.Um problema numérico é denido por um espaço (ou variedade !) F deentrada (por exemplo, as matrizes n×n) e um espaço X de soluções (exemplo:autovalor λ ∈ C). Existe uma regra associando soluções às entradas.Essa regra não é nem pode ser uma função unívoca, pois certos problemas(por exemplo, o problema de autovalores) admitem várias soluções.No exemplo, um número complexo λ é autovalor de A se e somentese det(A − λI) = 0. Denimos portanto a seguinte variedade de F × C,chamada de variedade de incidência (Figura 1.3):V = {(A, λ) ∈ F × C : det(A − λI) = 0} (1.4.3)(A prova de que V é variedade é um exercício). π 1 : V → F e π 2 : V → Cdenotam as projeções canônicas.Dado (M, λ) ∈ V ⊂ F × X, podem acontecer duas situações:• (A, λ) é ponto crítico da projeção π 1 : V → F. Nesse caso, a entradaA é chamada de mal-posta, ou degenerada. Por denição, o númerode condicionamento µ(A, λ) em (A, λ) é innito.• (A, λ) é ponto regular da projeção V → F. Nesse caso (Teorema daFunção Implícita !) podemos estender λ como função (π 2 ◦ π1 −1 )de A,localmente, em uma certa vizinhança de A. O número de condicionamentoµ(A, λ) em (A, λ) é a norma da derivada da função implícita(π 2 ◦ π1 −1 ) em A.Em geral, o número de condicionamento é proporcional à norma daderivada da solução em função da entrada, podendo ser innito. Se forgrande, a entrada é dita mal condicionada. Se for innita, ela é degeneradaou mal posta. Se pudéssemos impunemente brincar com a precisão denossos computadores, o número de bits necessário para resolver um problemacom uma certa entrada seria proporcional ao logaritmo do condicionamentodesta.
1.4. TEORIA GERAL 19Variedade de incidênciaCPonto regularπ 2Pontos críticosπ 1Valores críticosFValor regularFigura 1.3: Formulação geral.
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