Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

32 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIAté a invenção do computador digital, a iteração de Gräe-Dandelin-Lobachevskii e suas variantes eram o algoritmo escolhido para resolver polinômios.Isso mudou radicalmente com o advento do computador digital. Apósas primeiras experiências numéricas, cou claro que o expoente estouravarapidamente (Fig 1.1).Por exemplo, se começamos com coecientes da ordem de 2, em 10iterações apenas teremos coecientes da ordem de 2 21 0, que precisam de 2 1 0bits em representação inteira exata, e de em torno de 10 bits de expoenteem representação mantissa-potência de dois. Hoje utilizamos em torno de10 bits de expoente.Como apareceram algoritmos mais simples de implementar (ou implementadospor outras razões), o algoritmo cou esquecido.Utilizando a idéia de renormalização, não ocorre estouro do expoente,e a cada passo podemos fazer contas renormalizadas da maneira seguinte:Representação usual: Renormalização de ordem N:x = e 2N r+iα(r, α)y = e 2N s+iβ(s, β)x + y = e 2N t+iγ(t, γ) = (r, α) + k(s, β)xy = e 2N u+iδ(u, δ) = (r, α) + (s, β)Onde (assumindo r ≥ s:)t = 2 −N ∣log ∣e 2N r+iα + e 2N s+iβ∣∣= r log ∣1 + e 2N (s−r)+i(β−α)∣Note quee 2N (s−r)+i(β−α) =e i(β−α)1 + 2 N (r − s) + 1 2 22N (r − s) 2 + · · · .A soma renormalizada pode ser calculada de maneira estável. Quando2 N ≫ |r − s|, pode-se até aproximar (r, α) + k(s, β) pelo limite,⎧⎨ (r, α) Se r > s(r, α) + ∞(s, β) = (s, β) Se s < r .⎩(r, Indenido) Se r = sA primeira coordenada desse limite é conhecida hoje como soma tropicalde r e s.Denição 2.1. O semianel tropical é o anel R ∪ −∞ munido das operaçõesde soma tropical r + s = max(r, s) e produto tropical r × s = r + s.