Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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8áreas de pesquisa atuais, maior a garantia de que os resultados atuais serãonão-triviais.Nas duas primeiras aulas, ilustraremos algumas conexões entre a análisede algoritmos numéricos e tópicos como geometria diferencial ou algébrica.Nas duas aulas seguintes, mostraremos como matemática de boa qualidadetem o poder de voltar, inuenciando a nossa vida cotidiana. Para isso,vou mostrar quais são os fundamentos matemáticos da procura na Internete da compressão de imagens e de som.O único pré-requisito para este curso é ter conhecimentos básicos deÁlgebra Linear, no nível de um curso de graduação. Alguns dos principaisconceitos e teoremas de Álgebra Linear necessários para a comprensão dotexto estão resumidos no Apêndice.Os exemplos numéricos estão escritos em linguagem de programação C,ou na linguagem do aplicativo Octave. Este aplicativo é software livre, logotodos os exemplos podem ser executados em um computador com GNU-Linux bem congurado. Quem dispuser da versão em PDF destas notaspode utilizar o mouse para copiar e executar os exemplos numéricos.Parte do material foi extraído do texto de Álgebra Linear do autor,em preparação (mas disponível eletronicamente), em www.labma.ufrj.br/~gregorio.Agradeço a um revisor anônimo e a Beatriz Malajovich por ajudarem adepurar este texto.A pesquisa do autor é apoiada pelo CNPq (Conselho Nacional de DesenvolvimentoCientíco e Tecnológico) e pela FAPERJ (Fundação CarlosChagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro).
Aula 1Condicionamento, e aVariedade Discriminante1.1 O que não se ensina no curso de ÁlgebraLinearNos cursos de Álgebra Linear, ensinamos a resolver sistemas de equaçõesans, ou seja, sistemas da formaAx = b , (1.1.1)onde A é uma matriz n × n, e b e x são vetores em R n . Essa equação temsolução x única se e somente se det(A) ≠ 0.Nos bons cursos de Álgebra Linear, ensina-se a resolver o sistema (1.1.1)por eliminação Gaussiana ou por fatoração PLU. Isso só vale para sistemascom matriz inversível (e as outras situações são tratadas caso a caso).Por exemplo, o sistema⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 0 1 b 1⎣0 1 0⎦ x = ⎣b 2⎦0 1 1 b 3admite uma reta de soluções se e somente se b 3 = b 1 + b 2 .Gregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.9
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