Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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20 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTE1.5 Os problemas mal postosOs números de condicionamento medem a diculdade de resolver um problemapara determinada entrada. A esse título, constituem a noção centralem análise numérica, e números de condicionamento altos são a principalobstrução para algoritmos numéricos.Identicada a obstrução, cumpre entendê-la, para depois tomar as devidasprovidências (contornar? remover? explodir? conformar-se?).Na maioria dos problemas numéricos estudados em dimensão nita, oconjunto das entradas mal-postas tem estrutura de variedade algébrica.Essa variedade não é, em geral, diferenciável. Por exemplo, no caso doproblema de resolver sistemas lineares, as entradas mal-postas são precisamente:{A : det A = 0} .No caso de polinômios em uma variável, a classe das entradas mal postasé a variedade dos polinômios com uma raiz múltipla. Em função doscoecientes, isso equivale a escrever:⎡⎤f 0 f 1. f 1 .. . . ... . f 0 (d − 1)f d−1 ..det. . f 1 df d .. f1= 0 .. f d ... . .. .⎢⎣ . .. . ⎥... (d − 1)fd−1⎦f d df dA variedade das entradas mal postas é um objeto extremamente complicado,mas tem sempre codimensão ≥ 1 (i.e. dimensão N − 1 em um espaçode dimensão N).Podemos deduzir que• A probabilidade de uma entrada aleatória ser mal posta é zero.• A variedade das entradas mal postas não desconecta a variedade detodas as entradas... desde que se trate de variedades complexas.• Superfície e área de vizinhança tubular podem ser estimadas.
1.6. A DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES 211.6 A decomposição em valores singularesPrecisamos agora de alguns teoremas de Álgebra Linear. O principal delesé o teorema da decomposição em valores singulares, e vamos deduzi-lo doTeorema Espectral.Teorema 1.3 (T. Espectral para matrizes simétricas). Seja S uma matrizsimétrica real n × n. Então todos os autovalores de S são reais, e S admiteuma base ortonormal de autovetores.A prova foi deixada para os exercícios. Admitindo esse resultado, podemospassar ao Teorema seguinte.Seja A : R n → R m uma aplicação linear. Os espaços R n e R m sãomunidos do produto interno canônico.Vamos mostrar que existe uma base ortonormal (v 1 , . . . , v n ) de R n , euma base ortonormal (u 1 , . . . , u n ) de R m , tais que a matriz associada Arelativa a essas duas bases é diagonal.Uma matriz Σ de tamanho m × n é diagonal positiva se e somente separa todo i, Σ ii ≥ 0, e para i ≠ j, Σ ij = 0.Teorema 1.4. Seja A uma matriz real de tamanho m × n. Então existemU ∈ O(m), V ∈ O(n) e Σ diagonal positiva de tamanho m × n, tais queA = UΣV T .Demonstração: Para xar as idéias, vamos assumir que m ≥ n. (No casom < n, basta substituir A por A T ).A matriz A T A é real e simétrica. Pelo Teorema Espectral, ela admiteuma base ortonormal (v 1 , . . . , v n ) de autovetores. Denotamos por λ i osautovalores de A T A. Para todo i = 1, . . . , n, denimosσ i = ‖Av i ‖e assumimos que a base v i está ordenada de maneira que σ 1 ≥ σ 2 ≥ · · · ≥σ n . Seja r o posto de A, então σ 1 , . . . , σ r ≠ 0 e para todo i ∈ {1, 2, . . . , r},podemos deniru i = σ −1i Av i .Por construção, ‖u i ‖ = 1. (Note que isso implica que σi2 = λ i). Comopara todo i ≠ j, v i (A T A)v j = λ j vi T v j = 0, teremos que 〈u i , u j 〉 = 0 e osu i formam um conjunto ortonormal.Existe uma base (u 1 , . . . , u r , w r+1 , . . . , w m ) de R n . Aplicando Gram-Schmidt a essa base, obtemos um base ortonormal (u 1 , . . . , u m ). Como
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