Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

4.2. A TRANSFORMADA DE FOURIER 534.2 A transformada de FourierVamos denotar por L 2 ([0, 1]) o espaço de todas as funções a valores complexos,denidas para t ∈ [0, 1], integráveis e com quadrado integrável. Setemos um sinal (função real) f denido no intervalo de tempo [0, 1], podemosconsiderar ele como um elemento de L 2 ([0, 1]). O produto interno deduas funções f e g em L 2 ([0, 1]) é〈f, g〉 =∫ 10¯f(t)g(t) dt.Note que esse produto está bem denido em L 2 ([0, 1]).A transformada de Fourier de f é denida por:ˆf(s) =∫ 1para s ∈ Z. Uma denição equivalente é0f(t)e −2πist dtˆf(s) = 〈t ↦→ e −2πist , t ↦→ f(t)〉 .A transformada de Fourier pode ser interpretada como uma aplicaçãolinear de L 2 ([0, 1]) no espaço l 2 (Z), que é o espaço de todas as biseqüências( ˆf s ) s∈Z a valores complexos com norma Euclidiana ‖ ˆf‖ =√ ∑s∈Z | ˆf s | 2nita. Esse espaço admite o produto interno〈 ˆf s , ĝ s 〉 = ∑ s∈Zfĝ¯ˆ s s .Prova-se ainda que vale a seguinte fórmula de reconstrução:f(t) = ∑ s∈Ze 2πits ˆf(s) .Nesse sentido, diz-se que o conjunto das funções t ↦→ e 2πits é uma basedo espaço L 2 ([0, 1]).Observação 4.1. A denição usual de combinação linear, nos textos de Álgebra,costuma ser a da combinação linear nita. Em análise de Fourier ouprocessamento de sinais, assume-se que uma combinação linear é qualquersoma ou integral, com norma Euclidiana dos coecientes (ou integral dovalor absoluto do módulo da função-coeciente) limitada.