Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

54 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALNote também quee que, para s 1 ≠ s 2 inteiros,‖t ↦→ e 2πits ‖ 2 =〈t ↦→ e 2πits1 , t ↦→ e 2πits2 〉 =∫ 10∫ 101 dt = 1e 2πit(s2−s1) dt = 0.Assim, (t ↦→ e 2πits ) s∈Z é uma base ortonormal do espaço L 2 ([0, 1]).Observação 4.2. Uma maneira clássica de resolver a equação do calor e aequação da onde é escrever o operador f(x) ↦→ ∂2∂ 2 f(x) nessa base ortonormal.Obtemos oxoperadorˆf s ↦→ −4π 2 s 2 ˆfs .Note que esse operador tem norma innita, e que ele é innitamente malcondicionado. (Em geral, a derivação é mal condicionada e por isso algoritmosde diferenciação numérica são sempre problemáticos).Vamos utilizar a base de Fourier como primeira aproximação para processamentode sinais. O comando fft do Octave aproxima a transformadade Fourier. Se temos um vetor f de R N ou C N , o comando produz um vetorˆf = F(f) de C N ondeF : C N → C Nf ↦→ ˆf = F(f) onde ˆf j = ∑ N−1k=0 f ke −2πijk/N .A transformação F é conhecida como transformada de Fourier discreta , ouDFT.Se o vetor f é discretização de um sinal de duração T, a j-ésima coordenadade ˆf j corresponde à freqüência min(j,N−j)T. (Ver exercício 4.6).O comando ifft calcula a transformada discreta inversa de Fourier F −1 .Podemos gerar a nota Lá a 440 Hz fazendo:y=zeros(8000,1);% 1s corresponde a 8000 leituras.y(440-1)=1e+6;playaudio(real(ifft(y))) ;(Compare com o sinal telefônico). Do ponto de vista matemático, essatransformada corresponde a uma projeção ortogonal do sinal original.Agora vamos utilizar isso para comprimir o sinal de voz que havíamosgravado. O ouvido humano consegue perceber freqüências entre 20Hz e